Verifique quais das seguintes transformações lineares são um isomorfismo.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T(x, y)=(x-2 y, y);

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} definida por
T(x,y)=(x-2y,\;y).
A pergunta é: essa transformação é um isomorfismo? Listei as informações importantes: domínio e contradomínio são \mathbb{R}^{2}, e a regra explícita de T é dada acima. O que preciso verificar é se T é bijetora (injetora e sobrejetora) — ou, do ponto de vista das transformações lineares entre espaços de mesma dimensão finita, se T é invertível.

Passo 2

Primeiro, confirmo que T é linear (só para ser didático): uma aplicação T é linear quando, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^2 e escalar c\in\mathbb{R},
T(u+v)=T(u)+T(v)\quad\text{e}\quad T(cu)=c\,T(u).
Seja u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2). Então
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2)
e aplicando T:
T(u+v)=\big((x_1+x_2)-2(y_1+y_2),\;y_1+y_2\big).
Por outro lado,
T(u)+T(v)=\big(x_1-2y_1,\;y_1\big)+\big(x_2-2y_2,\;y_2\big)=\big((x_1+x_2)-2(y_1+y_2),\;y_1+y_2\big).
Logo T(u+v)=T(u)+T(v). Para homogeneidade, com c\in\mathbb{R},
T(cu)=T(cx_1,cy_1)=\big(cx_1-2cy_1,\;cy_1\big)=c\big(x_1-2y_1,\;y_1\big)=c\,T(u).
Portanto T é linear (esta verificação é padrão e rápida na prova).

Passo 3

Agora represento T na base canônica. Seja e_1=(1,0) e e_2=(0,1). Calculo as imagens:
T(e_1)=T(1,0)=(1-2\cdot 0,\;0)=(1,0),
T(e_2)=T(0,1)=(0-2\cdot 1,\;1)=(-2,1).
A matriz de T na base canônica tem colunas iguais a T(e_1) e T(e_2). Então a matriz é
A=\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Uma transformação linear entre espaços vetoriais de mesma dimensão finita é um isomorfismo se, e somente se, sua matriz (naquela base) for invertível, isto é, tiver determinante diferente de zero. Calculo o determinante de A:
\det(A)=1\cdot 1 - 0\cdot(-2)=1.
Como \det(A)=1\neq 0, a matriz A é invertível, portanto T é invertível e, consequentemente, um isomorfismo.

Passo 5

Para reforçar a intuição e para uso direto na prova, encontro explicitamente a inversa T^{-1}. Se (u,v)=T(x,y), então
u=x-2y,\qquad v=y.
Da segunda equação vem y=v. Substituindo na primeira obtemos u=x-2v, portanto x=u+2v. Assim
T^{-1}(u,v)=(u+2v,\;v).
Posso verificar rapidamente a composição: T^{-1}(T(x,y))=((x-2y)+2y,\;y)=(x,y), mostrando que de fato é a inversa.

Passo 6

Resumo conceitual curto e motivador: como a matriz de T tem determinante 1\neq 0, T é invertível; inversibilidade equivale a isomorfismo entre espaços vetoriais de mesma dimensão. Então a resposta é afirmativa — você pode usar tanto o cálculo do determinante quanto mostrar que o núcleo é \{(0,0)\} para concluir injetividade (e, por igualdade de dimensões, sobrejetividade).

Resposta

Sim: T é um isomorfismo.

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