Verifique quais das seguintes transformações lineares são um isomorfismo.
;
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
A pergunta é: essa transformação é um isomorfismo? Listei as informações importantes: domínio e contradomínio são
, e a regra explícita de
é dada acima. O que preciso verificar é se
é bijetora (injetora e sobrejetora) — ou, do ponto de vista das transformações lineares entre espaços de mesma dimensão finita, se
é invertível.
Passo 2
Primeiro, confirmo que
é linear (só para ser didático): uma aplicação
é linear quando, para quaisquer vetores
e escalar
,
Seja
e
. Então
e aplicando
:
Por outro lado,
Logo
. Para homogeneidade, com
,
Portanto
é linear (esta verificação é padrão e rápida na prova).
Passo 3
Agora represento
na base canônica. Seja
e
. Calculo as imagens:
A matriz de
na base canônica tem colunas iguais a
e
. Então a matriz é
Passo 4
Uma transformação linear entre espaços vetoriais de mesma dimensão finita é um isomorfismo se, e somente se, sua matriz (naquela base) for invertível, isto é, tiver determinante diferente de zero. Calculo o determinante de
:
Como
, a matriz
é invertível, portanto
é invertível e, consequentemente, um isomorfismo.
Passo 5
Para reforçar a intuição e para uso direto na prova, encontro explicitamente a inversa
. Se
, então
Da segunda equação vem
. Substituindo na primeira obtemos
, portanto
. Assim
Posso verificar rapidamente a composição:
, mostrando que de fato é a inversa.
Passo 6
Resumo conceitual curto e motivador: como a matriz de
tem determinante
,
é invertível; inversibilidade equivale a isomorfismo entre espaços vetoriais de mesma dimensão. Então a resposta é afirmativa — você pode usar tanto o cálculo do determinante quanto mostrar que o núcleo é
para concluir injetividade (e, por igualdade de dimensões, sobrejetividade).
Resposta
Sim:
é um isomorfismo.