Para cada uma das transformações lineares abaixo determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem.
c) F: R^2 R^3 dado por F(x, y)=(x+y, x-y, y).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Fcolon R^2 to R^3, F(x,y) = (x+y,;x-y,;y)
Queremos encontrar uma base e a dimensão de ker(F) e de Im(F). Para isso usamos:
  • Definição de núcleo:
    ker(F)=(x,y)inR^2mid F(x,y)=(0,0,0).
  • Definição de imagem:
    Im(F)=F(x,y)mid (x,y)inR^2, que é o espaço gerado pelas colunas da matriz de F.

Passo 2

Para achar
Da terceira equação vem , ou seja
Isto mostra que e a base do núcleo é o conjunto vazio.

Passo 3

Para a imagem, escrevemos a matriz de
cuja primeira coluna é e segunda é . Verificamos se são linearmente independentes:
Da última equação . Logo e são LI e geram toda a imagem. Assim
com .
Pela fórmula de posto-nulidade em temos
confirmação de que os valores encontrados estão consistentes.

Resposta

Uma base de ker(F) é o conjunto vazio (pois ker(F)=0) e dim(ker(F))=0.
Uma base de Im(F) é
(1,1,0),,(1,-1,1)
e dim(Im(F))=2.

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