Para cada uma das transformações lineares abaixo determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem.
c)
dado por
.
c)
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
Queremos encontrar uma base e a dimensão de
e de
. Para isso usamos:
- Definição de núcleo:
. - Definição de imagem:
, que é o espaço gerado pelas colunas da matriz de .
Passo 2
Para achar
Da terceira equação vem , ou seja
Isto mostra que
e a base do núcleo é o conjunto vazio.
Passo 3
Para a imagem, escrevemos a matriz de
cuja primeira coluna é
e segunda é
. Verificamos se são linearmente independentes:
Da última equação . Logo
e
são LI e geram toda a imagem. Assim
com
.
Pela fórmula de posto-nulidade em
temos
confirmação de que os valores encontrados estão consistentes.
Resposta
Uma base de
ker(F) é o conjunto vazio (pois
ker(F)=0 ) e
dim(ker(F))=0 .
Uma base deIm(F) é
Uma base de
e
dim(Im(F))=2 .