Seja F: R^3 P2(R) tal que F(x, y, z)=x+(x+z) t+(-y+2 z) t^2. Obtenha [F]B^C, a matriz de F em relação à base canônica C=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) de R^3 e a base canônica B=1, t, t^2 de P2(R).

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear
Fcolon R^3to P2(R), F(x,y,z)=x+(x+z),t+(-y+2z),t^2,
e pede a matriz [F]B^C, onde
C=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) é a base canônica de R^3,
B=1,t,t^2 é a base canônica de P2(R).
Para montar [F]B^C basta calcular F em cada vetor de C e escrever o resultado nas coordenadas da base B.

Passo 2

Calcular F em (1,0,0). Substituindo x=1, y=0, z=0 em
F(x,y,z)=x+(x+z),t+(-y+2z),t^2
obtemos
F(1,0,0)=1+(1+0),t+(-0+0),t^2=1+t
Em relação à base B=1,t,t^2, esse polinômio tem coordenadas
l[,F(1,0,0)r]B=110

Passo 3

Calcular F em (0,1,0). Substituindo x=0, y=1, z=0:
F(0,1,0)=0+(0+0),t+(-1+0),t^2=-t^2
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l[,F(0,1,0)r]B=00-1

Passo 4

Calcular F em (0,0,1). Substituindo x=0, y=0, z=1:
F(0,0,1)=0+(0+1),t+(-0+2),t^2=t+2,t^2
Assim
l[,F(0,0,1)r]B=012

Passo 5

Montamos [F]B^C colocando em cada coluna as coordenadas de F(ei) obtidas nos passos anteriores:
[F]B^C= l[,F(1,0,0)r]B & l[,F(0,1,0)r]B & l[,F(0,0,1)r]B = 1 & 0 & 0 1 & 0 & 1 0 & -1 & 2

Resposta

[F]B^C= 1 & 0 & 0 1 & 0 & 1 0 & -1 & 2

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