Seja F: R^3 R^3 tal que F(x, y, z)=(x-3 y+2 z,-y+z, 2 x-y). Obtenha [F], a matriz de F em relação à base canônica de R^3.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Fcolon R^3toR^3, F(x,y,z) = (x - 3y + 2z,,-y + z,;2x - y)
e pede a matriz de F na base canônica. Para isso, usamos o fato de que a coluna j de [F] é F aplicado ao j-ésimo vetor da base canônica ej.

Passo 2

Calculamos F nos vetores da base canônica:
F(e1)=F(1,0,0)=(1 - 3cdot0 + 2cdot0,,-0+0,;2cdot1 - 0) = (1,0,2),
F(e2)=F(0,1,0)=(0 - 3cdot1 + 2cdot0,,-1+0,;0 - 1) = (-3,-1,-1),
F(e3)=F(0,0,1)=(0 - 3cdot0 + 2cdot1,,-0+1,;0 - 0) = (2,1,0)

Passo 3

A matriz de F na base canônica tem como colunas os vetores F(e1), F(e2) e F(e3). Logo,
[F] = 1 & -3 & 2 0 & -1 & 1 2 & -1 & 0

Resposta

[F] = 1 & -3 & 2 0 & -1 & 1 2 & -1 & 0

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