Para cada uma das transformações T a seguir, calcule N(T) e \operatorname{Im}(T)
\mathrm{T}: \mathrm{R}^{3} \rightarrow \mathrm{R}^{3}; Projeção do \mathrm{R}^{3} sobre o plano XY

Passo 1

O enunciado pede explicitamente duas coisas: calcular N(T) e \operatorname{Im}(T) para a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 dada como “projeção do \mathbb{R}^3 sobre o plano XY”. Informação fornecida importante: a transformação é a projeção ortogonal (ou canônica) sobre o plano XY — ou seja, pontos (x,y,z) em \mathbb{R}^3 são levados para pontos no plano XY (terceira coordenada igual a zero).

Passo 2

Vamos escrever explicitamente a fórmula da transformação. Projeção sobre o plano XY significa que a componente z é eliminada e as componentes x e y permanecem. Logo, para um vetor genérico (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 temos
T(x,y,z)=(x,y,0).
É útil usar essa expressão para encontrar núcleo e imagem.

Passo 3

Definição e ideia prática para o núcleo N(T). O núcleo (também chamado de \ker(T)) é o conjunto de vetores que vão para o vetor zero:
N(T)=\{v\in\mathbb{R}^3 \mid T(v)=0\}.
Para usar isso aqui, impomos T(x,y,z)=(x,y,0)=(0,0,0) e resolvemos para (x,y,z).

Passo 4

Resolver a equação T(x,y,z)=(0,0,0). Da igualdade (x,y,0)=(0,0,0) vem
x=0,\qquad y=0.
A coordenada z não aparece na imagem, então z pode ser qualquer número real. Portanto os vetores do núcleo têm a forma
(0,0,z)=z(0,0,1),\qquad z\in\mathbb{R}.
Concluímos que
N(T)=\operatorname{span}\{(0,0,1)\}.
Como comentário prático: geometricamente, o núcleo é o eixo z (ou seja, a reta que passa por origem e é paralela ao eixo z) — todos esses vetores são “colimados” na origem pelo operador que apaga a componente z.

Passo 5

Definição e ideia prática para a imagem \operatorname{Im}(T). A imagem é o conjunto de vetores que aparecem como T(v) para algum v:
\operatorname{Im}(T)=\{T(v)\in\mathbb{R}^3 \mid v\in\mathbb{R}^3\}.
Usando a fórmula T(x,y,z)=(x,y,0), vemos que a terceira coordenada de qualquer vetor da imagem é 0, e as duas primeiras podem ser qualquer par (x,y)\in\mathbb{R}^2.

Passo 6

Descrever explicitamente a imagem. Portanto
\operatorname{Im}(T)=\{(x,y,0)\mid x,y\in\mathbb{R}\}.
Isto é exatamente o plano XY em \mathbb{R}^3. Uma base conveniente é \{(1,0,0),(0,1,0)\}, logo
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,1,0)\}.

Passo 7

Verificação rápida com dimensões (teorema do posto-nulidade). Temos \dim N(T)=1 e \dim \operatorname{Im}(T)=2. De fato,
\dim N(T)+\dim \operatorname{Im}(T)=1+2=3=\dim\mathbb{R}^3,
o que confirma coerência com o teorema do posto-nulidade. Um exemplo concreto: T(2,-1,5)=(2,-1,0) — a componente z some.

Resposta

N(T)=\operatorname{span}\{(0,0,1)\}
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,1,0)\}

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