Para cada uma das transformações
a seguir, calcule
e
; Projeção do
sobre o plano XY
Passo 1
O enunciado pede explicitamente duas coisas: calcular
e
para a transformação linear
dada como “projeção do
sobre o plano XY”. Informação fornecida importante: a transformação é a projeção ortogonal (ou canônica) sobre o plano XY — ou seja, pontos
em
são levados para pontos no plano XY (terceira coordenada igual a zero).
Passo 2
Vamos escrever explicitamente a fórmula da transformação. Projeção sobre o plano XY significa que a componente
é eliminada e as componentes
e
permanecem. Logo, para um vetor genérico
temos
É útil usar essa expressão para encontrar núcleo e imagem.
Passo 3
Definição e ideia prática para o núcleo
. O núcleo (também chamado de
) é o conjunto de vetores que vão para o vetor zero:
Para usar isso aqui, impomos
e resolvemos para
.
Passo 4
Resolver a equação
. Da igualdade
vem
A coordenada
não aparece na imagem, então
pode ser qualquer número real. Portanto os vetores do núcleo têm a forma
Concluímos que
Como comentário prático: geometricamente, o núcleo é o eixo
(ou seja, a reta que passa por origem e é paralela ao eixo
) — todos esses vetores são “colimados” na origem pelo operador que apaga a componente
.
Passo 5
Definição e ideia prática para a imagem
. A imagem é o conjunto de vetores que aparecem como
para algum
:
Usando a fórmula
, vemos que a terceira coordenada de qualquer vetor da imagem é
, e as duas primeiras podem ser qualquer par
.
Passo 6
Descrever explicitamente a imagem. Portanto
Isto é exatamente o plano XY em
. Uma base conveniente é
, logo
Passo 7
Verificação rápida com dimensões (teorema do posto-nulidade). Temos
e
. De fato,
o que confirma coerência com o teorema do posto-nulidade. Um exemplo concreto:
— a componente
some.