Para cada uma das transformações
a seguir, calcule
e
T: R3
; Reflexão em torno da origem
T: R3
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
e descreve
como a reflexão em torno da origem. O que é pedido:
- Calcular
(o núcleo, também chamado de espaço nulo): o conjunto de vetores tais que . - Calcular
(a imagem ou posto): o conjunto de vetores que são valores de , isto é .
Informações relevantes do enunciado:
- A transformação é “reflexão em torno da origem”, isto indica que cada vetor é levado ao seu oposto (isto é a informação chave que usaremos).
- O domínio e contradomínio são ambos
.
Passo 2
Vamos lembrar o que significam rigorosamente as duas coisas que pediram (sem ainda resolver):
- O núcleo
é definido por
Isto é, todos os vetores que vão para o vetor nulo.
- A imagem
é definida por
Isto é, todos os vetores que aparecem como saída de
.
Explicação curta e útil: se
for injetora então
. Se
for sobrejetora então
. Essas conexões vão aparecer na resolução.
Passo 3
Identificar explicitamente a ação de
. Como
é reflexão em torno da origem, por definição ela toma cada vetor e o envia para o seu oposto. Assim, para qualquer vetor
vale
Vamos trabalhar com coordenadas: escreva
. Então
Isso é tudo que precisamos para calcular núcleo e imagem.
Passo 4
Calcular
. Precisamos resolver
. Usando a fórmula:
Isto dá o sistema de equações
Cada equação implica
,
e
. Portanto o único vetor que satisfaz é o vetor nulo. Concluímos
Comentário didático: quando o núcleo é só o vetor zero, a transformação é injetora — aqui faz sentido porque levar ao oposto é uma função reversível (o inverso é ela mesma).
Passo 5
Calcular
. Pela definição,
Mas o conjunto de todos os vetores negativos de vetores de
é exatamente
novamente, porque para qualquer
podemos escolher
e então
. Outra maneira prática: aplique
às bases canônicas
. Temos
Os vetores
geram o espaço
(são simplesmente os mesmos vetores da base, só com sinal trocado), então
Comentário didático: isso mostra que
é sobrejetora. Juntando com passo anterior,
é bijetora (injetora e sobrejetora), e o posto (dimensão da imagem) é
enquanto a nulidade (dimensão do núcleo) é
, em acordo com o teorema posto-nulidade.