Para cada uma das transformações T a seguir, calcule N(T) e \operatorname{Im}(T)
T: R3 \rightarrow R^{3}; Reflexão em torno da origem

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 e descreve T como a reflexão em torno da origem. O que é pedido:
  • Calcular N(T) (o núcleo, também chamado de espaço nulo): o conjunto de vetores v\in\mathbb{R}^3 tais que T(v)=0.
  • Calcular \operatorname{Im}(T) (a imagem ou posto): o conjunto de vetores que são valores de T, isto é \{T(v)\mid v\in\mathbb{R}^3\}.
Informações relevantes do enunciado:
  • A transformação é “reflexão em torno da origem”, isto indica que cada vetor é levado ao seu oposto (isto é a informação chave que usaremos).
  • O domínio e contradomínio são ambos \mathbb{R}^3.

Passo 2

Vamos lembrar o que significam rigorosamente as duas coisas que pediram (sem ainda resolver):
  • O núcleo N(T) é definido por
N(T)=\{v\in\mathbb{R}^3\mid T(v)=0\}.
Isto é, todos os vetores que vão para o vetor nulo.
  • A imagem \operatorname{Im}(T) é definida por
\operatorname{Im}(T)=\{w\in\mathbb{R}^3\mid \exists v\in\mathbb{R}^3,\; w=T(v)\}.
Isto é, todos os vetores que aparecem como saída de T.
Explicação curta e útil: se T for injetora então N(T)=\{0\}. Se T for sobrejetora então \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3. Essas conexões vão aparecer na resolução.

Passo 3

Identificar explicitamente a ação de T. Como T é reflexão em torno da origem, por definição ela toma cada vetor e o envia para o seu oposto. Assim, para qualquer vetor v\in\mathbb{R}^3 vale
T(v)=-v.
Vamos trabalhar com coordenadas: escreva v=(x,y,z). Então
T(x,y,z)=(-x,-y,-z).
Isso é tudo que precisamos para calcular núcleo e imagem.

Passo 4

Calcular N(T). Precisamos resolver T(v)=0. Usando a fórmula:
T(x,y,z)=(-x,-y,-z)= (0,0,0).
Isto dá o sistema de equações
-x=0,\quad -y=0,\quad -z=0.
Cada equação implica x=0, y=0 e z=0. Portanto o único vetor que satisfaz é o vetor nulo. Concluímos
N(T)=\{(0,0,0)\}=\{0\}.
Comentário didático: quando o núcleo é só o vetor zero, a transformação é injetora — aqui faz sentido porque levar ao oposto é uma função reversível (o inverso é ela mesma).

Passo 5

Calcular \operatorname{Im}(T). Pela definição,
\operatorname{Im}(T)=\{T(v)\mid v\in\mathbb{R}^3\}=\{-v\mid v\in\mathbb{R}^3\}.
Mas o conjunto de todos os vetores negativos de vetores de \mathbb{R}^3 é exatamente \mathbb{R}^3 novamente, porque para qualquer w\in\mathbb{R}^3 podemos escolher v=-w e então T(v)=-v=w. Outra maneira prática: aplique T às bases canônicas \,e_1=(1,0,0),\,e_2=(0,1,0),\,e_3=(0,0,1). Temos
T(e_1)=-e_1,\quad T(e_2)=-e_2,\quad T(e_3)=-e_3.
Os vetores -e_1,-e_2,-e_3 geram o espaço \mathbb{R}^3 (são simplesmente os mesmos vetores da base, só com sinal trocado), então
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3.
Comentário didático: isso mostra que T é sobrejetora. Juntando com passo anterior, T é bijetora (injetora e sobrejetora), e o posto (dimensão da imagem) é 3 enquanto a nulidade (dimensão do núcleo) é 0, em acordo com o teorema posto-nulidade.

Resposta

N(T)=\{0\}
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3

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