Para cada uma das transformações
a seguir, calcule
e
; Projeção do
sobre o eixo OX .
Passo 1
O enunciado pede: “Para a transformação
— projeção de
sobre o eixo OX — calcule
e
.”
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A transformação
é a projeção sobre o eixo OX. - O domínio e contradomínio são
. - As incógnitas que devemos encontrar são
(núcleo ou kernel) e (imagem ou alcance).
Passo 2
O que significa projetar sobre o eixo OX? Vou explicar devagar: projetar um vetor
sobre o eixo OX significa “descer” esse vetor até o eixo OX mantendo a coordenada
e anulando a coordenada
. Em fórmulas, isso quer dizer que, para qualquer vetor
, a projeção é
Aqui cada símbolo significa:
e
são as coordenadas do vetor de entrada;
é o vetor de saída na mesma
.
Passo 3
Definição do núcleo
: é o conjunto de vetores que são levados ao vetor zero pelo operador
. Em símbolos,
Aplicando essa definição ao nosso
, resolvemos a equação
. Usando a expressão da projeção temos
Passo 4
A igualdade
implica que
(e a segunda coordenada já é
por construção). Logo os vetores do núcleo têm a forma
Isto significa que todos os vetores do eixo OY estão no núcleo.
Passo 5
Escrever o núcleo como espaço gerado (span). Qualquer vetor
pode ser escrito como múltiplo escalar de
:
Portanto
Uma base do núcleo é
e, consequentemente,
.
Passo 6
Definição da imagem
: é o conjunto de todos os vetores que aparecem como saída de
, isto é
Como
, os vetores que aparecem como imagens são exatamente todos os vetores da forma
com
.
Passo 7
Escrever a imagem como espaço gerado. Qualquer
pode ser escrito como
, logo
Uma base da imagem é
e
.
Passo 8
Verificação rápida por consistência (teorema posto-na-mente): o espaço original tem dimensão
. O teorema do posto-nulidade diz que
Aqui temos
, consistente com os resultados acima.
Passo 9
Exemplos para fixar (pra você sentir na pele):
-
— imagem está no eixo OX. -
— portanto está no núcleo, porque sua projeção é o zero.