Para cada uma das transformações T a seguir, calcule N(T) e \operatorname{Im}(T)
\mathrm{T}: \mathrm{R}^{2} \rightarrow \mathrm{R}^{2}; Projeção do \mathrm{R}^{2} sobre o eixo OX .

Passo 1

O enunciado pede: “Para a transformação T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 — projeção de \mathbb{R}^2 sobre o eixo OX — calcule N(T) e \operatorname{Im}(T).”
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A transformação T é a projeção sobre o eixo OX.
  • O domínio e contradomínio são \mathbb{R}^2.
  • As incógnitas que devemos encontrar são N(T) (núcleo ou kernel) e \operatorname{Im}(T) (imagem ou alcance).

Passo 2

O que significa projetar sobre o eixo OX? Vou explicar devagar: projetar um vetor (x,y) sobre o eixo OX significa “descer” esse vetor até o eixo OX mantendo a coordenada x e anulando a coordenada y. Em fórmulas, isso quer dizer que, para qualquer vetor (x,y)\in\mathbb{R}^2, a projeção é
T(x,y)=(x,0).
Aqui cada símbolo significa: x e y são as coordenadas do vetor de entrada; T(x,y) é o vetor de saída na mesma \mathbb{R}^2.

Passo 3

Definição do núcleo N(T): é o conjunto de vetores que são levados ao vetor zero pelo operador T. Em símbolos,
N(T)=\{v\in\mathbb{R}^2 \mid T(v)= (0,0)\}.
Aplicando essa definição ao nosso T, resolvemos a equação T(x,y)=(0,0). Usando a expressão da projeção temos
T(x,y)=(x,0)=(0,0).

Passo 4

A igualdade (x,0)=(0,0) implica que \;x=0\; (e a segunda coordenada já é 0 por construção). Logo os vetores do núcleo têm a forma
(x,y)=(0,y),\quad y\in\mathbb{R}.
Isto significa que todos os vetores do eixo OY estão no núcleo.

Passo 5

Escrever o núcleo como espaço gerado (span). Qualquer vetor (0,y) pode ser escrito como múltiplo escalar de (0,1):
(0,y)=y\,(0,1).
Portanto
N(T)=\operatorname{span}\{(0,1)\}.
Uma base do núcleo é \{(0,1)\} e, consequentemente, \dim N(T)=1.

Passo 6

Definição da imagem \operatorname{Im}(T): é o conjunto de todos os vetores que aparecem como saída de T, isto é
\operatorname{Im}(T)=\{T(v)\mid v\in\mathbb{R}^2\}.
Como T(x,y)=(x,0), os vetores que aparecem como imagens são exatamente todos os vetores da forma (x,0) com x\in\mathbb{R}.

Passo 7

Escrever a imagem como espaço gerado. Qualquer (x,0) pode ser escrito como x\,(1,0), logo
\operatorname{Im}(T)=\{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(1,0)\}.
Uma base da imagem é \{(1,0)\} e \dim \operatorname{Im}(T)=1.

Passo 8

Verificação rápida por consistência (teorema posto-na-mente): o espaço original tem dimensão 2. O teorema do posto-nulidade diz que
\dim \mathbb{R}^2=\dim \operatorname{Im}(T)+\dim N(T).
Aqui temos 2 = 1 + 1, consistente com os resultados acima.

Passo 9

Exemplos para fixar (pra você sentir na pele):
  • T(3,4)=(3,0) — imagem está no eixo OX.
  • T(0,5)=(0,0) — portanto (0,5) está no núcleo, porque sua projeção é o zero.

Resposta

N(T)=\operatorname{span}\{(0,1)\}
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(1,0)\}

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