Cada uma das três bolas pesa 0,5 \mathrm{lb} e tem um, coeficiente de restituição de e=0,85. Se a bola A é liberada do répouso e atinge a bola B e, em seguida, a bola B atinge a bola C, dertermine o velocidàde de cada bola após a segunda colisão. As bolas deslizam sem atrito

Passo 1

O enunciado (resumido e organizado) nos dá as seguintes informações e perguntas:
  • Temos três bolas idênticas: cada uma pesa 0,5 lb (assim, todas têm a mesma massa; vou chamar essa massa de m).
  • O coeficiente de restituição entre quaisquer duas bolas é e=0,85.
  • A bola A é liberada do repouso e, ao atingir B, tem uma velocidade de impacto que eu vou chamar de u (ou seja, u é a velocidade de A imediatamente antes da primeira colisão). Não foi dada uma altura ou valor numérico para u, então vou expressar as velocidades finais em termos de u.
  • As bolas B e C estão inicialmente em repouso.
  • As colisões são unidimensionais (todas na mesma linha) e não há atrito nem perdas de energia fora das colisões; portanto podemos usar conservação de quantidade de movimento linear e a definição do coeficiente de restituição.
    O que se pede:
  • Determinar a velocidade de cada bola após a segunda colisão (ou seja, depois que A colide com B e, em seguida, B colide com C). Vou fornecer expressões simbólicas e os valores numéricos dos fatores que multiplicam u.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas calmamente):
  • Conservação da quantidade de movimento em uma colisão isolada em uma dimensão: para duas partículas de massas m_1 e m_2 com velocidades iniciais u_1,u_2 e finais v_1,v_2,
m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2.
Isto significa que a soma das quantidades de movimento (momentum) antes e depois é a mesma porque não há impulsos externos importantes durante o curto tempo da colisão.
  • Definição do coeficiente de restituição e: é a razão entre a velocidade relativa de separação e a velocidade relativa de aproximação ao longo da linha de impacto. Em notação de uma dimensão,
e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2},
onde u_1,u_2 são as velocidades antes da colisão ( u_1 da partícula que vem por trás, u_2 da que está à frente) e v_1,v_2 as velocidades depois. Importante: aqui estamos adotando a convenção de sinais tal que a velocidade positiva é, por exemplo, para a direita; a fórmula usa a componente relativa na linha de ação.
  • Observação útil para este problema: todas as três massas são iguais ( m_1=m_2=m). Isso simplifica muito as equações — as massas se cancelam na equação da quantidade de movimento quando comparadas duas a duas.

Passo 3

Primeira colisão: A\) atinge \(B\). - Antes da colisão: \(u_A = u\), \(u_B=0\). - Aplicando conservação do momentum (com \(m_A=m_B=m\)): \[m u + m\cdot 0 = m v_A' + m v_B' \quad\Rightarrow\quad u = v_A' + v_B'.
  • Aplicando a definição de restituição:
e = \frac{v_B' - v_A'}{u - 0} = \frac{v_B' - v_A'}{u}.
  • Temos o sistema (sem unidades dentro das equações):
\begin{cases} v_A' + v_B' = u,\\[4pt] v_B' - v_A' = e\,u. \end{cases}
Agora resolvemos o sistema somando as duas equações para eliminar v_A'\]: \[2v_B' = (1+e)u \quad\Rightarrow\quad v_B' = \frac{1+e}{2}\,u.\] Substituindo em \(v_A' + v_B' = u:
v_A' = u - v_B' = u - \frac{1+e}{2}\,u = \frac{1-e}{2}\,u.
  • Interpretação: depois da primeira colisão A continua se movendo (ainda para frente) mas muito mais devagar; B adquiriu a maior parte da velocidade.]

Passo 4

Plugamos e=0{,}85 para obter os fatores numéricos (ainda em função de u):
  • Calculemos os fatores:
\frac{1+e}{2}=\frac{1+0{,}85}{2}=\frac{1{,}85}{2}=0{,}925,
\frac{1-e}{2}=\frac{1-0{,}85}{2}=\frac{0{,}15}{2}=0{,}075.
  • Assim, imediatamente após a primeira colisão:
v_A' = 0{,}075\,u,\qquad v_B' = 0{,}925\,u.

Passo 5

Segunda colisão: agora B (com velocidade v_B') atinge C (em repouso).
  • Antes da segunda colisão: u_B^{(2)} = v_B' = \frac{1+e}{2}u, u_C^{(2)} = 0.
  • Reaplicamos as mesmas fórmulas (massas iguais):
    Conservação do momentum:
u_B^{(2)} = v_B + v_C.
Coeficiente de restituição:
e = \frac{v_C - v_B}{u_B^{(2)} - 0} = \frac{v_C - v_B}{u_B^{(2)}}.
Montando o sistema (substituindo u_B^{(2)} por v_B'):
\begin{cases} v_B + v_C = v_B',\\[4pt] v_C - v_B = e\,v_B'. \end{cases}
Somando as equações:
2 v_C = (1+e) v_B' \quad\Rightarrow\quad v_C = \frac{1+e}{2}\,v_B'.
E
v_B = v_B' - v_C = v_B' - \frac{1+e}{2}v_B'=\frac{1-e}{2}\,v_B'.]

Passo 6

Substituímos v_B'=\dfrac{1+e}{2}u nas expressões, para obter formas finais em função de u:
  • Para v_C:
v_C = \frac{1+e}{2}\,v_B' = \frac{1+e}{2}\cdot\frac{1+e}{2}\,u = \frac{(1+e)^2}{4}\,u.
  • Para v_B (após a segunda colisão):
v_B = \frac{1-e}{2}\,v_B' = \frac{1-e}{2}\cdot\frac{1+e}{2}\,u = \frac{1-e^2}{4}\,u.
  • E lembrando v_A não participa da segunda colisão, então permanece com o valor obtido no Passo 4:
v_A = \frac{1-e}{2}\,u.

Passo 7

Agora colocamos os valores numéricos com e=0{,}85:
  • Já tínhamos \dfrac{1-e}{2}=0{,}075 e \dfrac{1+e}{2}=0{,}925.
  • Calculemos os fatores para v_B e v_C:
\frac{1-e^2}{4}=\frac{1-(0{,}85)^2}{4}=\frac{1-0{,}7225}{4}=\frac{0{,}2775}{4}=0{,}069375,
\frac{(1+e)^2}{4}=\frac{(1{,}85)^2}{4}=\frac{3{,}4225}{4}=0{,}855625.
  • Resumo numérico (em função de u):
v_A = 0{,}075\,u,\qquad v_B = 0{,}069375\,u,\qquad v_C = 0{,}855625\,u.

Resposta

v_A = \dfrac{1-e}{2}\,u = 0{,}075\,u\n
v_B = \dfrac{1-e^2}{4}\,u = 0{,}069375\,u\n
v_C = \dfrac{(1+e)^2}{4}\,u = 0{,}855625\,u

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