Cada uma das três bolas pesa
e tem um, coeficiente de restituição de
. Se a bola A é liberada do répouso e atinge a bola B e, em seguida, a bola B atinge a bola C, dertermine o velocidàde de cada bola após a segunda colisão. As bolas deslizam sem atrito
Passo 1
O enunciado (resumido e organizado) nos dá as seguintes informações e perguntas:
- Temos três bolas idênticas: cada uma pesa
lb (assim, todas têm a mesma massa; vou chamar essa massa de ). - O coeficiente de restituição entre quaisquer duas bolas é
. - A bola
é liberada do repouso e, ao atingir , tem uma velocidade de impacto que eu vou chamar de (ou seja, é a velocidade de imediatamente antes da primeira colisão). Não foi dada uma altura ou valor numérico para , então vou expressar as velocidades finais em termos de . - As bolas
e estão inicialmente em repouso. - As colisões são unidimensionais (todas na mesma linha) e não há atrito nem perdas de energia fora das colisões; portanto podemos usar conservação de quantidade de movimento linear e a definição do coeficiente de restituição.
O que se pede: - Determinar a velocidade de cada bola após a segunda colisão (ou seja, depois que
colide com e, em seguida, colide com ). Vou fornecer expressões simbólicas e os valores numéricos dos fatores que multiplicam .
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas calmamente):
- Conservação da quantidade de movimento em uma colisão isolada em uma dimensão: para duas partículas de massas
e com velocidades iniciais e finais ,
Isto significa que a soma das quantidades de movimento (momentum) antes e depois é a mesma porque não há impulsos externos importantes durante o curto tempo da colisão.
- Definição do coeficiente de restituição
: é a razão entre a velocidade relativa de separação e a velocidade relativa de aproximação ao longo da linha de impacto. Em notação de uma dimensão,
onde
são as velocidades antes da colisão (
da partícula que vem por trás,
da que está à frente) e
as velocidades depois. Importante: aqui estamos adotando a convenção de sinais tal que a velocidade positiva é, por exemplo, para a direita; a fórmula usa a componente relativa na linha de ação.
- Observação útil para este problema: todas as três massas são iguais (
). Isso simplifica muito as equações — as massas se cancelam na equação da quantidade de movimento quando comparadas duas a duas.
Passo 3
Primeira colisão:
- Aplicando a definição de restituição:
- Temos o sistema (sem unidades dentro das equações):
Agora resolvemos o sistema somando as duas equações para eliminar
:
- Interpretação: depois da primeira colisão
continua se movendo (ainda para frente) mas muito mais devagar; adquiriu a maior parte da velocidade.]
Passo 4
Plugamos
para obter os fatores numéricos (ainda em função de
):
- Calculemos os fatores:
- Assim, imediatamente após a primeira colisão:
Passo 5
Segunda colisão: agora
(com velocidade
) atinge
(em repouso).
- Antes da segunda colisão:
, . - Reaplicamos as mesmas fórmulas (massas iguais):
Conservação do momentum:
Coeficiente de restituição:
Montando o sistema (substituindo
por
):
Somando as equações:
E
Passo 6
Substituímos
nas expressões, para obter formas finais em função de
:
- Para
:
- Para
(após a segunda colisão):
- E lembrando
não participa da segunda colisão, então permanece com o valor obtido no Passo 4:
Passo 7
Agora colocamos os valores numéricos com
:
- Já tínhamos
e . - Calculemos os fatores para
e :
- Resumo numérico (em função de
):