Questão 2: (2,5 pontos)
O sistema articulado é feito de dois elementos de aço (
) conectados por pinos, cada um com uma área de seção transversal de
. Se uma força vertical
for aplicada ao ponto A , determine (a) a redução do comprimento dos elementos de aço e (b) o deslocamento vertical do ponto A .
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
- Dados fornecidos:
- Módulo de elasticidade do aço:
. - Área da seção transversal de cada elemento:
. - Força vertical aplicada em
: . (Aqui é um parâmetro do enunciado; o valor numérico de não foi informado.)
- Módulo de elasticidade do aço:
- O que se pede:
- (a) a redução do comprimento dos elementos de aço (isto é, o encurtamento axial de cada um);
- (b) o deslocamento vertical do ponto
.
Informação importante: o enunciado menciona “o sistema articulado” e a aplicação de
em
, mas não foi enviada nenhuma figura nem as dimensões/ângulos/geométria dos membros (comprimentos
e ângulos
ou coordenadas dos nós). Essas informações geométricas são necessárias para determinar as forças axiais nos membros e projetar as deformações na direção vertical. Portanto, com os dados que recebi NÃO É POSSÍVEL obter valores numéricos finais.
A seguir eu explico passo a passo o método que usaríamos e dou as fórmulas em termos das variáveis geométricas (para que você possa aplicar ao seu caso assim que me fornecer — ou quando consultar sua prova/figura).
A seguir eu explico passo a passo o método que usaríamos e dou as fórmulas em termos das variáveis geométricas (para que você possa aplicar ao seu caso assim que me fornecer — ou quando consultar sua prova/figura).
Passo 2
Conceito-chave: deformação axial (Lei de Hooke para tração/compressão uniaxial).
Quando um membro axial está sujeito à força axial (positiva em tração), a variação de comprimento
é dada por
Quando um membro axial está sujeito à força axial
onde:
-
é a variação de comprimento (positivo = alongamento, negativo = encurtamento se for compressivo); -
é a força axial ao longo do membro (em N); -
é o comprimento do membro (em mm); -
é a área da seção transversal (em mm ); -
é o módulo de elasticidade (em N/mm ).
Explicação curta de onde vem isso: a tensão média é
; a deformação axial média é
; como
, obtemos
. Simples e poderoso — memorize!
Passo 3
Unidades e conversões práticas (vai facilitar no cálculo sem erro):
-
(pois ). -
. - A força
.
Sempre trabalhe em unidades coerentes: aqui usamos N, mm e N/mm
.
Passo 4
Como obter as forças axiais nos membros? (Equilíbrio estático no nó onde a força
atua.)
Considere que em se unem dois membros (por exemplo) com forças axiais
e
dirigidas ao longo de si, formando ângulos
e
com a horizontal (essas definições seguem a figura que você tem no enunciado). No equilíbrio do nó em
temos:
Considere que em
- Equilíbrio horizontal:
- Equilíbrio vertical (soma das componentes verticais = carga
, adotando para cima positivo):
Essas duas equações permitem resolver
e
. Resolvendo o sistema (a manipulação algébrica é útil e vale decorar o truque de usar identidades trigonométricas), obtemos:
Observações sobre o sinal:
- Se
nesse sinalamento, membro está em tração (aumenta de comprimento); se , está em compressão (reduz de comprimento). - A fórmula acima foi obtida eliminando
com a equação horizontal e substituindo na vertical; também pode ser expressa de outras formas equivalentes.
Passo 5
Deformações axiais de cada elemento (redução/compressão): aplicamos a fórmula do Passo 2 para cada membro
:
onde
é o comprimento do membro
.
Se (compressão), então
será negativa e
é a redução (encurtamento) do membro. Se você precisa apenas do valor numérico do encurtamento, tome
.
Se
Substituindo os
do Passo 4:
(Preste atenção ao sinal do segundo: pode ser compressivo/negativo conforme
.)
Passo 6
Deslocamento vertical do ponto
: compatibilidade geométrica.
O deslocamento vertical de , denotado
, é a soma das projeções verticais das deformações dos membros que chegam a
. Se adotarmos sinais consistentes (deslocamento para baixo positivo, por exemplo), então a projeção vertical do alongamento/encurtamento
é
(porque
projeta o alongamento na direção vertical). Assim:
O deslocamento vertical de
Substituindo as expressões de
do passo anterior, obtemos (apenas manipulação algébrica):
Observação: se os membros forem simétricos (
e
em módulo, caso particular), muitas simplificações ocorrem e a expressão se reduz; por exemplo, para uma configuração simétrica
poderíamos obter
mais simples.
Passo 7
Resumo prático do que falta para calcular numericamente (isto é, os números que você deve extrair da figura do enunciado):
- Valores dos comprimentos
e (em mm) dos elementos. - Valores dos ângulos
e (ou coordenadas dos nós para deduzir esses ângulos). - O valor numérico de
(se não estiver dado, deixe em função de como fizemos).
Com esses dados você:
- calcula
; - calcula
e pelas fórmulas do Passo 4; - calcula
por ; - obtém o deslocamento vertical
pela projeção das (Passo 6).
Passo 8
Exemplo numérico rápido (ilustrativo, para ver a mecânica do cálculo — NÃO É A RESPOSTA DO SEU PROBLEMA, é só um exemplo pedagógico): suponha que
,
e
,
(configuração simétrica). Então:
-
. - Pelas fórmulas de equilíbrio, por simetria cada membro teria a mesma magnitude de força; daí
(mostrei a ideia — você aplicaria as fórmulas do Passo 4). - Depois
e .
Esse exemplo mostra como aplicar as fórmulas passo a passo quando a geometria é conhecida.
Resposta
Não é possível calcular numericamente porque a figura e as informações geométricas necessárias (
ou coordenadas dos nós) e o valor de
não foram fornecidos.
As expressões gerais (para dois membros que se unem em ) são:
As expressões gerais (para dois membros que se unem em
(a) Redução/variação de comprimento dos elementos:
onde
,
,
.
(b) Deslocamento vertical em :
(b) Deslocamento vertical em
Forneça a figura (ou
e
) e o valor de
e eu calculo tudo numéricamente, passo a passo, até a resposta final. Você consegue pegar esses dados da prova/figura? Vai dar certo — respira, já estamos quase lá.