Questão 2: (2,5 pontos)

O sistema articulado é feito de dois elementos de aço ( \mathrm{E}=200 \mathrm{GPa} ) conectados por pinos, cada um com uma área de seção transversal de 1000 \mathrm{~mm}^{2}. Se uma força vertical P=(250+2 * n) k N for aplicada ao ponto A , determine (a) a redução do comprimento dos elementos de aço e (b) o deslocamento vertical do ponto A .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Dados fornecidos:
    • Módulo de elasticidade do aço: \displaystyle E=200\\ \mathrm{GPa}.
    • Área da seção transversal de cada elemento: \displaystyle A=1000\\ \mathrm{mm}^2.
    • Força vertical aplicada em A: \displaystyle P=(250+2n)\\ \mathrm{kN}. (Aqui n é um parâmetro do enunciado; o valor numérico de n não foi informado.)
  • O que se pede:
    • (a) a redução do comprimento dos elementos de aço (isto é, o encurtamento axial de cada um);
    • (b) o deslocamento vertical do ponto A.
Informação importante: o enunciado menciona “o sistema articulado” e a aplicação de P em A, mas não foi enviada nenhuma figura nem as dimensões/ângulos/geométria dos membros (comprimentos \,L_1,L_2,\ldots e ângulos \theta_1,\theta_2,\ldots ou coordenadas dos nós). Essas informações geométricas são necessárias para determinar as forças axiais nos membros e projetar as deformações na direção vertical. Portanto, com os dados que recebi NÃO É POSSÍVEL obter valores numéricos finais.
A seguir eu explico passo a passo o método que usaríamos e dou as fórmulas em termos das variáveis geométricas (para que você possa aplicar ao seu caso assim que me fornecer — ou quando consultar sua prova/figura).

Passo 2

Conceito-chave: deformação axial (Lei de Hooke para tração/compressão uniaxial).
Quando um membro axial está sujeito à força axial F (positiva em tração), a variação de comprimento \delta é dada por
\delta=\frac{F\,L}{A\,E},
onde:
  • \delta é a variação de comprimento (positivo = alongamento, negativo = encurtamento se F for compressivo);
  • F é a força axial ao longo do membro (em N);
  • L é o comprimento do membro (em mm);
  • A é a área da seção transversal (em mm ^2);
  • E é o módulo de elasticidade (em N/mm ^2).
Explicação curta de onde vem isso: a tensão média é \sigma=F/A; a deformação axial média é \varepsilon=\sigma/E; como \varepsilon=\delta/L, obtemos \delta= \varepsilon L = (F/AE)L. Simples e poderoso — memorize!

Passo 3

Unidades e conversões práticas (vai facilitar no cálculo sem erro):
  • \displaystyle E=200\\ \mathrm{GPa}=200\times 10^{3}\\ \mathrm{N/mm}^2 (pois 1\\ \mathrm{GPa}=1000\\ \mathrm{N/mm}^2).
  • \displaystyle A=1000\\ \mathrm{mm}^2.
  • A força \displaystyle P=(250+2n)\\ \mathrm{kN}=(250+2n)\times 10^{3}\\ \mathrm{N}.
Sempre trabalhe em unidades coerentes: aqui usamos N, mm e N/mm ^2.

Passo 4

Como obter as forças axiais nos membros? (Equilíbrio estático no nó onde a força P atua.)
Considere que em A se unem dois membros (por exemplo) com forças axiais F_1 e F_2 dirigidas ao longo de si, formando ângulos \theta_1 e \theta_2 com a horizontal (essas definições seguem a figura que você tem no enunciado). No equilíbrio do nó em A temos:
  • Equilíbrio horizontal:
F_1\cos\theta_1 + F_2\cos\theta_2 = 0.
  • Equilíbrio vertical (soma das componentes verticais = carga P, adotando para cima positivo):
F_1\sin\theta_1 + F_2\sin\theta_2 = P.
Essas duas equações permitem resolver F_1 e F_2. Resolvendo o sistema (a manipulação algébrica é útil e vale decorar o truque de usar identidades trigonométricas), obtemos:
F_1 = \dfrac{P\cos\theta_2}{\sin(\theta_1-\theta_2)}, \qquad F_2 = -\dfrac{P\cos\theta_1}{\sin(\theta_1-\theta_2)}.
Observações sobre o sinal:
  • Se F_i>0 nesse sinalamento, membro i está em tração (aumenta de comprimento); se F_i<0, está em compressão (reduz de comprimento).
  • A fórmula acima foi obtida eliminando F_2 com a equação horizontal e substituindo na vertical; também pode ser expressa de outras formas equivalentes.

Passo 5

Deformações axiais de cada elemento (redução/compressão): aplicamos a fórmula do Passo 2 para cada membro i:
\delta_i=\frac{F_i\,L_i}{A\,E},
onde L_i é o comprimento do membro i.
Se F_i<0 (compressão), então \delta_i será negativa e |\delta_i| é a redução (encurtamento) do membro. Se você precisa apenas do valor numérico do encurtamento, tome |\delta_i|.
Substituindo os F_i do Passo 4:
\delta_1 = \frac{P\,L_1}{A\,E}\cdot\frac{\cos\theta_2}{\sin(\theta_1-\theta_2)}, \qquad \delta_2 = -\frac{P\,L_2}{A\,E}\cdot\frac{\cos\theta_1}{\sin(\theta_1-\theta_2)}.
(Preste atenção ao sinal do segundo: pode ser compressivo/negativo conforme \theta.)

Passo 6

Deslocamento vertical do ponto A: compatibilidade geométrica.
O deslocamento vertical de A, denotado \Delta y, é a soma das projeções verticais das deformações dos membros que chegam a A. Se adotarmos sinais consistentes (deslocamento para baixo positivo, por exemplo), então a projeção vertical do alongamento/encurtamento \delta_i é \delta_i \sin\theta_i (porque \sin\theta_i projeta o alongamento na direção vertical). Assim:
\Delta y = \delta_1\sin\theta_1 + \delta_2\sin\theta_2.
Substituindo as expressões de \delta_i do passo anterior, obtemos (apenas manipulação algébrica):
\Delta y = \frac{P}{A E}\cdot\frac{L_1\cos\theta_2\sin\theta_1 - L_2\cos\theta_1\sin\theta_2}{\sin(\theta_1-\theta_2)}.
Observação: se os membros forem simétricos ( L_1=L_2 e \theta_1=\theta_2 em módulo, caso particular), muitas simplificações ocorrem e a expressão se reduz; por exemplo, para uma configuração simétrica \theta_1=-\theta_2 poderíamos obter \Delta y mais simples.

Passo 7

Resumo prático do que falta para calcular numericamente (isto é, os números que você deve extrair da figura do enunciado):
  • Valores dos comprimentos \,L_1 e \,L_2 (em mm) dos elementos.
  • Valores dos ângulos \theta_1 e \theta_2 (ou coordenadas dos nós para deduzir esses ângulos).
  • O valor numérico de n (se não estiver dado, deixe P em função de n como fizemos).
    Com esses dados você:
  1. calcula P=(250+2n)\times 10^3\\ \mathrm{N};
  2. calcula F_1 e F_2 pelas fórmulas do Passo 4;
  3. calcula \delta_1,\delta_2 por \delta_i=F_i L_i/(A E);
  4. obtém o deslocamento vertical \Delta y pela projeção das \delta_i (Passo 6).

Passo 8

Exemplo numérico rápido (ilustrativo, para ver a mecânica do cálculo — NÃO É A RESPOSTA DO SEU PROBLEMA, é só um exemplo pedagógico): suponha que n=0, L_1=L_2=1000\\ \mathrm{mm} e \theta_1=60^\circ, \theta_2=120^\circ (configuração simétrica). Então:
  • P=250\times10^3\\ \mathrm{N}.
  • Pelas fórmulas de equilíbrio, por simetria cada membro teria a mesma magnitude de força; daí F_1=F_2=\dfrac{P}{2\sin60^\circ} (mostrei a ideia — você aplicaria as fórmulas do Passo 4).
  • Depois \delta_i=F_i L_i/(AE) e \Delta y=2\delta_i\sin60^\circ.
    Esse exemplo mostra como aplicar as fórmulas passo a passo quando a geometria é conhecida.

Resposta

Não é possível calcular numericamente porque a figura e as informações geométricas necessárias ( L_1,L_2,\theta_1,\theta_2 ou coordenadas dos nós) e o valor de n não foram fornecidos.
As expressões gerais (para dois membros que se unem em A) são:
(a) Redução/variação de comprimento dos elementos:
\delta_1 = \frac{P\,L_1}{A\,E}\cdot\frac{\cos\theta_2}{\sin(\theta_1-\theta_2)}, \qquad \delta_2 = -\frac{P\,L_2}{A\,E}\cdot\frac{\cos\theta_1}{\sin(\theta_1-\theta_2)},
onde \displaystyle P=(250+2n)\times 10^{3}\\ \mathrm{N}, \displaystyle E=200\times 10^{3}\\ \mathrm{N/mm}^2, \displaystyle A=1000\\ \mathrm{mm}^2.
(b) Deslocamento vertical em A:
\Delta y = \frac{P}{A E}\cdot\frac{L_1\cos\theta_2\sin\theta_1 - L_2\cos\theta_1\sin\theta_2}{\sin(\theta_1-\theta_2)}.
Forneça a figura (ou L_i e \theta_i) e o valor de n e eu calculo tudo numéricamente, passo a passo, até a resposta final. Você consegue pegar esses dados da prova/figura? Vai dar certo — respira, já estamos quase lá.

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