Um vaso de pressão cilíndrico tem diâmetro interno de 1,2 \mathrm{~m} e espessura de 12 mm . Determine a pressão interna máxima que ele pode suportar de modo que nem a componente de tensão circunferencial nem a tensão longitudinal ultrapasse 140 MPa .
Sob as mesmas condições, qual é a pressão interna máxima que um vaso esférico de tamanho semelhante pode suportar?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Determinar a pressão interna máxima que um vaso de pressão cilíndrico (diâmetro interno 1,2\\ \mathrm{m}, espessura 12\\ \mathrm{mm}) pode suportar de modo que nem a componente de tensão circunferencial nem a tensão longitudinal ultrapassem 140\\ \mathrm{MPa}.
  2. Sob as mesmas condições geométricas, determinar a pressão interna máxima para um vaso esférico.
Dados fornecidos (já convertidos para unidades do SI):
D=1,2\\ \mathrm{m},\qquad t=12\\ \mathrm{mm}=0,012\\ \mathrm{m},\qquad \sigma_\text{máx}=140\\ \mathrm{MPa}=140\cdot 10^{6}\\ \mathrm{Pa}.á
O que se pede: valores de p_\text{máx}á (pressão interna) para o cilindro e para a esfera, tais que as tensões não ultrapassem 140\\ \mathrm{MPa}.

Passo 2

Conceito importante (fórmulas de casca delgada) — quando podemos usar: a aproximação “parede fina” (thin-wall) vale se a espessura t for muito menor que o raio r (tipicamente t/r<0,1). Aqui:
r=\frac{D}{2}=\frac{1,2}{2}=0,6\\ \mathrm{m},\qquad \frac{t}{r}=\frac{0,012}{0,6}=0,02,
ou seja, t/r=0,02\ll 0,1, logo a aproximação é válida.
Agora as fórmulas que vamos usar (essas são obtidas por equilíbrio de forças na casca, vou derivar em seguida):
  • Para um cilindro fino, sob pressão interna p:
\sigma_\theta\\ (\text{circunferencial, hoop})=\frac{p\,r}{t}
\sigma_\ell\\ (\text{longitudinal})=\frac{p\,r}{2t}
Alternativamente, em termos do diâmetro D=2r:
\sigma_\theta=\frac{p D}{2t},\qquad \sigma_\ell=\frac{p D}{4t}.
Derivações rápidas (intuitivas, por equilíbrio de forças):
  • Hoop (circunferencial): corte o cilindro longitudinalmente em duas metades de comprimento L. A pressão age na área projetada lateral 2rL com força p(2rL) que tende a separar as duas metades; essa força é resistida pelas duas tiras de parede (cada uma de área tL) com tensão \sigma_\theta, total resistido 2(tL)\sigma_\theta. Igualando forças:
p(2rL)=2(tL)\sigma_\theta \quad\Rightarrow\quad \sigma_\theta=\frac{p r}{t}.
  • Longitudinal: considere o equilíbrio de um tampão circular (uma extremidade). A pressão age sobre a área \pi r^2 com força p\pi r^2; essa força é resistida pela “cinta” circunferencial da parede com área 2\pi r t sob tensão \sigma_\ell. Igualando:
p\pi r^2=(2\pi r t)\sigma_\ell \quad\Rightarrow\quad \sigma_\ell=\frac{p r}{2t}.
Observação prática: para um cilindro, \sigma_\theta é o dobro de \sigma_\ell para a mesma p, ou seja \sigma_\theta=2\sigma_\ell. Portanto, normalmente a tensão circunferencial é a crítica.

Passo 3

Decidir qual tensão limita p_\text{máx}á no cilindro: como \sigma_\theta=2\sigma_\ell, a condição \sigma_\theta\le 140\\ \mathrm{MPa} é mais restritiva; garantindo essa, a longitudinal estará automaticamente abaixo do limite. Logo usamos a condição sobre \sigma_\theta para calcular p_\text{máx}á do cilindro:
\sigma_\theta=\frac{p r}{t}\le 140\cdot 10^{6}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Cálculo do p_\text{máx}á para o cilindro.
Isolando p em \sigma_\theta=\dfrac{p r}{t}:
p=\frac{\sigma_\theta\,t}{r}.
Substituindo \sigma_\theta=140\cdot 10^{6}\\ \mathrm{Pa}, t=0,012\\ \mathrm{m}, r=0,6\\ \mathrm{m}:
p=\frac{140\cdot 10^{6}\times 0,012}{0,6}.
Calcule passo a passo:
\frac{0,012}{0,6}=0,02,
p=140\cdot 10^{6}\times 0,02=2,8\cdot 10^{6}\\ \mathrm{Pa}=2,8\\ \mathrm{MPa}.
Verificação rápida da tensão longitudinal com esse p:
\sigma_\ell=\frac{p r}{2t}=\frac{2,8\cdot 10^{6}\times 0,6}{2\times 0,012}=70\cdot 10^{6}\\ \mathrm{Pa}=70\\ \mathrm{MPa},
que é menor que 140\\ \mathrm{MPa}, portanto ok.

Passo 5

Cálculo do p_\text{máx}á para o vaso esférico.
Fórmula para casca esférica fina (tensão igual em todas as direções):
\sigma=\frac{p r}{2t}.
Isolando p para \sigma=140\cdot 10^{6}\\ \mathrm{Pa}:
p=\frac{2t\,\sigma}{r}.
Substituindo t=0,012\\ \mathrm{m}, r=0,6\\ \mathrm{m}, \sigma=140\cdot 10^{6}\\ \mathrm{Pa}:
\frac{2t}{r}=\frac{2\times 0,012}{0,6}= \frac{0,024}{0,6}=0,04,
p=0,04\times 140\cdot 10^{6}=5,6\cdot 10^{6}\\ \mathrm{Pa}=5,6\\ \mathrm{MPa}.
Comparação: a esfera suporta exatamente o dobro da pressão que o cilindro suporta nas mesmas condições ( 5,6\\ \mathrm{MPa} vs 2,8\\ \mathrm{MPa}), porque a tensão na esfera é metade da tensão circunferencial do cilindro para a mesma pressão e geometria.

Resposta

Cilíndrico: 2,8\\ \mathrm{MPa}
Esférico: 5,6\\ \mathrm{MPa}

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