Um vaso de pressão cilíndrico tem diâmetro interno de
e espessura de 12 mm . Determine a pressão interna máxima que ele pode suportar de modo que nem a componente de tensão circunferencial nem a tensão longitudinal ultrapasse 140 MPa .
Sob as mesmas condições, qual é a pressão interna máxima que um vaso esférico de tamanho semelhante pode suportar?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Determinar a pressão interna máxima que um vaso de pressão cilíndrico (diâmetro interno
, espessura ) pode suportar de modo que nem a componente de tensão circunferencial nem a tensão longitudinal ultrapassem . - Sob as mesmas condições geométricas, determinar a pressão interna máxima para um vaso esférico.
Dados fornecidos (já convertidos para unidades do SI):
O que se pede: valores de
(pressão interna) para o cilindro e para a esfera, tais que as tensões não ultrapassem
.
Passo 2
Conceito importante (fórmulas de casca delgada) — quando podemos usar: a aproximação “parede fina” (thin-wall) vale se a espessura
for muito menor que o raio
(tipicamente
). Aqui:
ou seja,
, logo a aproximação é válida.
Agora as fórmulas que vamos usar (essas são obtidas por equilíbrio de forças na casca, vou derivar em seguida):
- Para um cilindro fino, sob pressão interna
:
Alternativamente, em termos do diâmetro
:
Derivações rápidas (intuitivas, por equilíbrio de forças):
- Hoop (circunferencial): corte o cilindro longitudinalmente em duas metades de comprimento
. A pressão age na área projetada lateral com força que tende a separar as duas metades; essa força é resistida pelas duas tiras de parede (cada uma de área ) com tensão , total resistido . Igualando forças:
- Longitudinal: considere o equilíbrio de um tampão circular (uma extremidade). A pressão age sobre a área
com força ; essa força é resistida pela “cinta” circunferencial da parede com área sob tensão . Igualando:
Observação prática: para um cilindro,
é o dobro de
para a mesma
, ou seja
. Portanto, normalmente a tensão circunferencial é a crítica.
Passo 3
Decidir qual tensão limita
no cilindro: como
, a condição
é mais restritiva; garantindo essa, a longitudinal estará automaticamente abaixo do limite. Logo usamos a condição sobre
para calcular
do cilindro:
Passo 4
Cálculo do
para o cilindro.
Isolando em
:
Isolando
Substituindo
,
,
:
Calcule passo a passo:
Verificação rápida da tensão longitudinal com esse
:
que é menor que
, portanto ok.
Passo 5
Cálculo do
para o vaso esférico.
Fórmula para casca esférica fina (tensão igual em todas as direções):
Fórmula para casca esférica fina (tensão igual em todas as direções):
Isolando
para
:
Substituindo
,
,
:
Comparação: a esfera suporta exatamente o dobro da pressão que o cilindro suporta nas mesmas condições (
vs
), porque a tensão na esfera é metade da tensão circunferencial do cilindro para a mesma pressão e geometria.
Resposta
Cilíndrico:
Esférico:
Esférico: