(2,0). Uma barra com área de seção transversal quadrada é feita de um material cuja tensão de escoamento é 250 MPa . Se a barra for submetida a um momento fletor de 200 \mathrm{kN} . \mathrm{cm}, desenhe a seção transversal exigida para a barra (com aproximação de 1 mm ) de acordo com a teoria da energia de distorção máxima. Use um fator de segurança de 1,4 para o escoamento.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma única coisa. Dados:
\text{tensão de escoamento }=\;250\\ \text{MPa}ã
\text{momento fletor }M=\;200\\ \text{kN}\cdot\text{cm}
\text{fator de segurança }FS=\;1,4ç
\text{seção transversal: quadrada com lado }açã
Pedido: determinar (e “desenhar”) a seção transversal exigida, ou seja, o valor do lado a que garanta que a peça não entre em escoamento com o momento dado, usando aproximação de 1\\ \text{mm}.

Passo 2

O critério solicitado é o da energia de distorção máxima (critério de von Mises). Vou explicar de forma direta e prática o que isso significa para este problema: para um estado de tensões uniaxial (que é o caso de uma barra submetida apenas a flexão pura), o critério de von Mises diz que a tensão equivalente é numericamente igual à tensão normal extrema. Em fórmulas gerais o critério dá
\sigma_{\text{vm}}=\sqrt{\sigma_1^2-\sigma_1\sigma_2+\sigma_2^2},
mas se só existe uma tensão não nula ( \sigma_1=\sigma e \sigma_2=0), então
\sigma_{\text{vm}}=|\sigma|.
Portanto, para flexão pura exigimos que a tensão máxima de fibra \sigma_{\max} satisfaça
\sigma_{\max}\le\frac{\sigma_{\text{escoamento}}}{FS}.
Isto é, podemos tratar o problema como limitar a tensão normal máxima pelo escoamento dividido pelo fator de segurança.

Passo 3

Agora a relação entre momento fletor e tensão normal máxima. A fórmula básica da flexão (distribuição linear de tensões) é
\sigma(y)=\frac{M\,y}{I},
onde y é a distância do eixo neutro até a fibra considerada, I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro e M o momento fletor. A tensão máxima ocorre na fibra mais afastada, com y=c. Para uma seção quadrada de lado a (com o eixo neutro passando pelo centro) temos
c=\frac{a}{2}
e o momento de inércia (fórmula padrão para um retângulo com base b e altura h, I=bh^3/12) dá, no caso b=a, h=a,
I=\frac{a^4}{12}.
Assim a tensão máxima da fibra é
\sigma_{\max}=\frac{M\,c}{I}=\frac{M\,(a/2)}{a^4/12}.

Passo 4

Faço a álgebra da expressão anterior para simplificar \sigma_{\max}. Substituindo c e I:
\sigma_{\max}=\frac{M\,(a/2)}{a^4/12} = M\cdot\frac{a}{2}\cdot\frac{12}{a^4} = M\cdot\frac{6}{a^3}.
Portanto a relação prática que vamos usar é
\sigma_{\max}=\frac{6M}{a^3}.
As unidades conferem: M em \text{N}\cdot\text{mm} dividido por \text{mm}^3 \text{N}/\text{mm}^2 que é \text{MPa}.

Passo 5

Calculo a tensão admissível (tensão de escoamento dividida pelo fator de segurança). Converto tudo para unidades consistentes \text{N}/\text{mm}^2 e \text{N}\cdot\text{mm}:
\sigma_{\text{es}}=250\\ \text{MPa}=250\\ \frac{\text{N}}{\text{mm}^2}.
\sigma_{\text{adm}}=\frac{\sigma_{\text{es}}}{FS}=\frac{250}{1,4}=\;178{,}5714286\\ \frac{\text{N}}{\text{mm}^2}.
(Guardei o valor exato na forma fracionária para as contas; arredondamento só no final.)

Passo 6

Agora imponho a condição \sigma_{\max}\le\sigma_{\text{adm}}. Substituindo \sigma_{\max}=\dfrac{6M}{a^3} temos
\frac{6M}{a^3}\le\sigma_{\text{adm}} \quad\Rightarrow\quad a^3\ge\frac{6M}{\sigma_{\text{adm}}} \quad\Rightarrow\quad a\ge\left(\frac{6M}{\sigma_{\text{adm}}}\right)^{1/3}.
Converto o momento M para \text{N}\cdot\text{mm}. Dado M=200\\ \text{kN}\cdot\text{cm}:
200\\ \text{kN}=200{,}000\\ \text{N},\qquad 1\\ \text{cm}=10\\ \text{mm},
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M=200{,}000\cdot 10=2{,}000{,}000\\ \text{N}\cdot\text{mm}.
Substituindo:
a^3=\frac{6\cdot 2{,}000{,}000}{178{,}5714286} =\frac{12{,}000{,}000}{178{,}5714286}=67{,}200\\ \text{mm}^3.

Passo 7

Agora calculo a raiz cúbica de 67{,}200\\ \text{mm}^3. Sem usar calculadora, pode-se estimar entre cubos inteiros conhecidos: \,40^3=64{,}000 e \,41^3=68{,}921. Portanto a está entre 40\\ \text{mm} e 41\\ \text{mm}. Fazendo uma interpolação aproximada:
a\approx 40{,}66\\ \text{mm}.
(Explicação rápida do ajuste: a diferença entre 64{,}000 e 68{,}921 é 4{,}921. Nosso valor 67{,}200 está 3{,}200 acima de 64{,}000, então a fração é \approx 3{,}200/4{,}921\approx0{,}65; somando 0{,}65 da unidade dá \approx 40{,}65.)

Passo 8

Como o enunciado pede aproximação de 1\\ \text{mm} e para garantir segurança prática devemos arredondar para cima (não cortar segurança escolhendo um valor menor), escolhemos
a=\;41\\ \text{mm}.
Para completar o “desenho” da seção (descrição do desenho que você faria): desenhe um quadrado de lado \,41\\ \text{mm}, marque o centro e o eixo neutro horizontal/vertical (dependendo da direção da flexão), e indique c=\dfrac{a}{2}=20{,}5\\ \text{mm}. Isso é suficiente para as dimensões da seção exigida.

Resposta

a=41\\ \text{mm}
c=20{,}5\\ \text{mm}

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