. Uma barra com área de seção transversal quadrada é feita de um material cuja tensão de escoamento é 250 MPa . Se a barra for submetida a um momento fletor de
, desenhe a seção transversal exigida para a barra (com aproximação de 1 mm ) de acordo com a teoria da energia de distorção máxima. Use um fator de segurança de 1,4 para o escoamento.
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma única coisa. Dados:
Pedido: determinar (e “desenhar”) a seção transversal exigida, ou seja, o valor do lado que garanta que a peça não entre em escoamento com o momento dado, usando aproximação de
.
Pedido: determinar (e “desenhar”) a seção transversal exigida, ou seja, o valor do lado
Passo 2
O critério solicitado é o da energia de distorção máxima (critério de von Mises). Vou explicar de forma direta e prática o que isso significa para este problema: para um estado de tensões uniaxial (que é o caso de uma barra submetida apenas a flexão pura), o critério de von Mises diz que a tensão equivalente é numericamente igual à tensão normal extrema. Em fórmulas gerais o critério dá
mas se só existe uma tensão não nula (
e
), então
Portanto, para flexão pura exigimos que a tensão máxima de fibra
satisfaça
Isto é, podemos tratar o problema como limitar a tensão normal máxima pelo escoamento dividido pelo fator de segurança.
Passo 3
Agora a relação entre momento fletor e tensão normal máxima. A fórmula básica da flexão (distribuição linear de tensões) é
onde
é a distância do eixo neutro até a fibra considerada,
é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro e
o momento fletor. A tensão máxima ocorre na fibra mais afastada, com
. Para uma seção quadrada de lado
(com o eixo neutro passando pelo centro) temos
e o momento de inércia (fórmula padrão para um retângulo com base
e altura
,
) dá, no caso
,
,
Assim a tensão máxima da fibra é
Passo 4
Faço a álgebra da expressão anterior para simplificar
. Substituindo
e
:
Portanto a relação prática que vamos usar é
As unidades conferem:
em
dividido por
dá
que é
.
Passo 5
Calculo a tensão admissível (tensão de escoamento dividida pelo fator de segurança). Converto tudo para unidades consistentes
e
:
(Guardei o valor exato na forma fracionária para as contas; arredondamento só no final.)
Passo 6
Agora imponho a condição
. Substituindo
temos
Converto o momento
para
. Dado
:
logo
Substituindo:
Passo 7
Agora calculo a raiz cúbica de
. Sem usar calculadora, pode-se estimar entre cubos inteiros conhecidos:
e
. Portanto
está entre
e
. Fazendo uma interpolação aproximada:
(Explicação rápida do ajuste: a diferença entre
e
é
. Nosso valor
está
acima de
, então a fração é
; somando
da unidade dá
.)
Passo 8
Como o enunciado pede aproximação de
e para garantir segurança prática devemos arredondar para cima (não cortar segurança escolhendo um valor menor), escolhemos
Para completar o “desenho” da seção (descrição do desenho que você faria): desenhe um quadrado de lado
, marque o centro e o eixo neutro horizontal/vertical (dependendo da direção da flexão), e indique
. Isso é suficiente para as dimensões da seção exigida.