1. Um café está a 90^{\circ} \mathrm{C} logo depois de coado e, um minuto depois, passa para 85^{\circ} \mathrm{C}. A temperatura da cozinha é constante e igual a 25^{\circ} \mathrm{C}. Determine quanto tempo levará para que o café chegue a 60^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado diz que a temperatura inicial do café é T(0)=90^\circ\mathrm{C}, que a temperatura ambiente é constante T_\infty=25^\circ\mathrm{C} e que, um minuto depois, a temperatura do café é T(1)=85^\circ\mathrm{C}. O conteúdo aqui é a Lei de Resfriamento de Newton, que modela a temperatura T(t) do objeto pela função
T(t)=T_\infty+\bigl(T(0)-T_\infty\bigr)e^{-kt},
onde k>0 é a constante de resfriamento. Vamos primeiro determinar k e depois achar o tempo t tal que T(t)=60^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Substituindo T_\infty=25 e T(0)=90 na expressão geral, obtemos
T(t)=25+(90-25)e^{-kt}=25+65e^{-kt}.

Passo 3

Usamos a condição T(1)=85:
85=25+65e^{-k} \quad\Longrightarrow\quad 60=65e^{-k} \quad\Longrightarrow\quad e^{-k}=\frac{60}{65}=\frac{12}{13}.
Tomando logaritmo,
k=-\ln\!\bigl(\tfrac{12}{13}\bigr)=\ln\!\bigl(\tfrac{13}{12}\bigr)\approx 0,0800\\ \mathrm{min}^{-1}.

Passo 4

Queremos T(t)=60:
60=25+65e^{-kt} \quad\Longrightarrow\quad 35=65e^{-kt} \quad\Longrightarrow\quad e^{-kt}=\frac{7}{13}.
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-kt=\ln\!\bigl(\tfrac{7}{13}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad t=-\frac{1}{k}\ln\!\bigl(\tfrac{7}{13}\bigr) =\frac{\ln(\tfrac{13}{7})}{\ln(\tfrac{13}{12})} \approx 7,74\\ \mathrm{min}.

Resposta

O café levará aproximadamente 7,74 minutos para atingir 60^\circ\mathrm{C}.

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