- A fin de mejorar el modelo descrito en la ley de resfriamiento de Newton, vamos a permitir que la temperatura del ambiente varie al longo del tiempo al recibir (o ceder) calor al cuerpo. A lei de conservação da quantidade de calor nos diz que
onde
e
denotam as massas e calores específicos do corpo e do ambiente e
denotam a temperatura ambiente e a temperatura ambiente inicial, respectivamente. Substituindo na lei de resfriamento de Newton a expressão de
retirada da última equação, mostre que
satisfaz a equação diferencial
onde
.
a) Determine a temperatura do corpo em um instante qualquer.
b) Calcule
.
a) Determine a temperatura do corpo em um instante qualquer.
b) Calcule
Passo 1
O enunciado nos dá duas leis:
- Conservação de calor entre corpo e ambiente,
- Lei de resfriamento de Newton com
variável.
O objetivo é usar a conservação para expressarem função de e constantes, substituir em Newton e obter uma EDO linear de 1ª ordem em . Depois, resolver essa EDO e encontrar .
Passo 2
Da conservação de calor temos
onde definimos
Isolando
, fica
Passo 3
A lei de resfriamento de Newton é
Substituindo
do passo anterior,
Reorganizando, obtemos
Passo 4
Reconhecemos a EDO linear padrão
com
e
. O valor de equilíbrio (solução constante) é
Passo 5
Para resolver usamos o fator integrante
. A solução geral é
Passo 6
Tomando o limite quando
, o termo exponencial decai e sobra
Resposta
a)
b)
b)