1. A fin de mejorar el modelo descrito en la ley de resfriamiento de Newton, vamos a permitir que la temperatura del ambiente varie al longo del tiempo al recibir (o ceder) calor al cuerpo. A lei de conservação da quantidade de calor nos diz que
m c\left(T_{0}-T\right)=m_{a} c_{a}\left(T_{a}-T_{a, 0}\right)
onde m, m_{a} e c, c_{a} denotam as massas e calores específicos do corpo e do ambiente e T_{a}=T_{a}(t), T_{a, 0}=T_{a}(0) denotam a temperatura ambiente e a temperatura ambiente inicial, respectivamente. Substituindo na lei de resfriamento de Newton a expressão de T_{a} retirada da última equação, mostre que T=T(t) satisfaz a equação diferencial
T^{\prime}-k(1+A) T=-k\left(A T_{0}+T_{a, 0}\right)
onde A=(m c) /\left(m_{a} c_{a}\right).
a) Determine a temperatura do corpo em um instante qualquer.
b) Calcule \lim _{t \rightarrow \infty} T(t).

Passo 1

O enunciado nos dá duas leis:
  1. Conservação de calor entre corpo e ambiente,
  2. Lei de resfriamento de Newton com T_a=T_a(t) variável.
    O objetivo é usar a conservação para expressar T_a em função de T e constantes, substituir em Newton e obter uma EDO linear de 1ª ordem em T. Depois, resolver essa EDO e encontrar \lim_{t\to\infty}T(t).

Passo 2

Da conservação de calor temos
m\,c\bigl(T_0 - T\bigr)=m_a\,c_a\bigl(T_a - T_{a,0}\bigr)
onde definimos
A=\frac{m\,c}{m_a\,c_a}.
Isolando T_a, fica
T_a = T_{a,0} + A\,(T_0 - T).

Passo 3

A lei de resfriamento de Newton é
T'=-k\bigl(T - T_a\bigr).
Substituindo T_a do passo anterior,
T'=-k\bigl[T - \bigl(T_{a,0}+A(T_0 - T)\bigr)\bigr] =-k\bigl[(1+A)T - (A\,T_0 + T_{a,0})\bigr].
Reorganizando, obtemos
T' - k\,(1+A)\,T = -\,k\,(A\,T_0 + T_{a,0}).

Passo 4

Reconhecemos a EDO linear padrão
T' + p\,T = q,
com p=k(1+A) e q=k\,(A\,T_0+T_{a,0}). O valor de equilíbrio (solução constante) é
T_\infty = \frac{q}{p} = \frac{k\,(A\,T_0+T_{a,0})}{k\,(1+A)} = \frac{A\,T_0 + T_{a,0}}{1+A}.

Passo 5

Para resolver usamos o fator integrante \mu(t)=e^{pt}=e^{k(1+A)t}. A solução geral é
T(t)=T_\infty + \bigl(T(0)-T_\infty\bigr)e^{-\,p\,t} =\frac{A\,T_0 + T_{a,0}}{1+A} +\Bigl(T_0-\frac{A\,T_0 + T_{a,0}}{1+A}\Bigr)e^{-\,k(1+A)t}.

Passo 6

Tomando o limite quando t\to\infty, o termo exponencial decai e sobra
\lim_{t\to\infty}T(t) =\frac{A\,T_0 + T_{a,0}}{1+A}.

Resposta

a) \displaystyle T(t) =\frac{A\,T_0 + T_{a,0}}{1+A} +\Bigl(T_0-\frac{A\,T_0 + T_{a,0}}{1+A}\Bigr)e^{-\,k(1+A)t}.
b) \displaystyle \lim_{t\to\infty}T(t) =\frac{A\,T_0 + T_{a,0}}{1+A}.

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