1. Um termômetro é levado para fora de uma sala, onde a temperatura ambiente é de -5^{\circ} \mathrm{C}. Após 1 minuto o termômetro marca 15^{\circ} \mathrm{C}, e 4 minutos depois marca 5^{\circ} \mathrm{C}. Qual é a temperatura inicial dentro da sala?

Passo 1

O enunciado trata de um termômetro que sai de uma sala (onde a temperatura é desconhecida) para o exterior, com temperatura ambiente de -5^\circ\mathrm{C}. Após 1 minuto fora ele marca 15^\circ\mathrm{C} e, 4 minutos depois, marca 5^\circ\mathrm{C}. Queremos achar a temperatura inicial dentro da sala. O conteúdo é a Lei de Resfriamento de Newton, que leva a um decaimento exponencial da diferença entre a temperatura do termômetro e a temperatura ambiente.

Passo 2

Pela Lei de Newton, a temperatura do termômetro em função do tempo t (em minutos) é
T(t)=T_{\mathrm{amb}}+\bigl(T(0)-T_{\mathrm{amb}}\bigr)e^{-k\,t},
onde T_{\mathrm{amb}}=-5^\circ\mathrm{C}, T(0) é a temperatura inicial (dentro da sala) e k>0 é a constante de resfriamento.

Passo 3

Usando a leitura em t=1 minuto, T(1)=15^\circ\mathrm{C}, temos
15 = -5 + \bigl(T(0)+5\bigr)e^{-k} \quad\Longrightarrow\quad \bigl(T(0)+5\bigr)e^{-k} = 20.

Passo 4

Usando a leitura em t=1+4=5 minutos, T(5)=5^\circ\mathrm{C}, obtemos
5 = -5 + \bigl(T(0)+5\bigr)e^{-5k} \quad\Longrightarrow\quad \bigl(T(0)+5\bigr)e^{-5k} = 10.

Passo 5

Dividindo a equação de t=5 pela de t=1, cancelamos \bigl(T(0)+5\bigr):
\frac{e^{-5k}}{e^{-k}} = \frac{10}{20} \quad\Longrightarrow\quad e^{-4k} = \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad -4k = \ln\!\bigl(\tfrac12\bigr) = -\ln 2 \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{\ln 2}{4}.

Passo 6

Substituindo k=\tfrac{\ln2}{4} em \bigl(T(0)+5\bigr)e^{-k}=20:
e^{-k} = e^{-\frac{\ln2}{4}} = 2^{-\tfrac14},
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T(0)+5 = 20 \cdot 2^{\tfrac14} \quad\Longrightarrow\quad T(0) = 20\,2^{\tfrac14} - 5.

Passo 7

Em valor aproximado, \;2^{\tfrac14}=\sqrt{\sqrt2}\approx1,1892, então
T(0)\approx 20 \times 1,1892 - 5 \approx 23,784 - 5 = 18,784.

Resposta

A temperatura inicial dentro da sala é aproximadamente 18{,}8^\circ\mathrm{C}.

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