Uma caixa de 100 kg é empurrada, sobre um plano inclinado, por uma força horizontal. O plano inclinado não se move. Despreze o atrito entre o plano e a caixa.
(a) Qual é o valor da força horizontal necessária para que a caixa se desloque com velocidade constante para cima e (b) qual será, neste caso, a força exercida pelo plano sobre a caixa?

Passo 1

O enunciado descreve uma caixa de massa m=100 kg apoiada num plano inclinado fixo, sem atrito, sendo empurrada por uma força horizontal F. Pede-se (a) o módulo de F para que a caixa suba com velocidade constante (isto é, aceleração zero) e (b) a força normal N que o plano exerce sobre a caixa. Para resolver, vamos fazer o diagrama de forças, projetar as forças ao longo dos eixos paralelos e perpendiculares ao plano e aplicar as condições de equilíbrio.

Passo 2

Marquemos por theta o ângulo de inclinação do plano em relação à horizontal. As forças sobre a caixa são:
  1. O peso P=m,g vertical para baixo.
  2. A força horizontal F atuando para a direita.
  3. A força normal N perpendicular ao plano.
    Como não há atrito e a velocidade é constante, resolvemos em dois eixos:
  • Eixo x: paralelo ao plano, sentido para cima da rampa.
  • Eixo y: perpendicular ao plano, sentido para dentro do plano.

Passo 3

Projeto das forças no eixo x:
  • Componente do peso para baixo do plano:
Px = m,gsintheta
  • Componente da força horizontal para cima do plano:
Fx = Fcostheta
Como a aceleração ao longo do plano é zero, soma das componentes nulas:
Fcostheta - m,gsintheta = 0 Longrightarrow F costheta = m,g sintheta Longrightarrow F = m,g,tantheta

Passo 4

Projeto das forças no eixo y:
  • Componente do peso no sentido para fora do plano:
Py = m,gcostheta
(apontando de dentro para fora, pois o peso é para baixo).
  • Componente da força horizontal para dentro do plano:
Fy = Fsintheta
(apontando para dentro).
Como não há movimento neste eixo, a soma deve ser zero (o normal equilibra):
N - m,gcostheta - Fsintheta = 0 Longrightarrow N = m,gcostheta + Fsintheta
Substituindo F = m,gtantheta:
N = m,gcostheta + l(m,gtanthetar)sintheta = m,gcostheta + m,g,sin^2thetacostheta = m,g,cos^2theta + sin^2thetacostheta = m,gcostheta

Resposta

(a) F = m,g,tantheta
(b) N = m,gcostheta

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