(2,0) Uma caixa de chapa metálica na forma de um cubo de 0,70 m tem uma emissividade de superfície de 0,7 . A caixa contém equipamento eletrônico que dissipa 1200 W de energia. Se as redondezas são consideradas pretas a 280 K e a parte superior e as laterais da caixa são consideradas irradiadas uniformemente, qual será a temperatura da superfície da caixa?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma caixa de chapa metálica que tem formato de cubo com arestas de 0,70 metros. Essa caixa tem uma emissividade de superfície de 0,7 e contém equipamentos eletrônicos que dissipam 1200 watts de energia. As redondezas estão a uma temperatura de 280 K e são consideradas superfícies negras (o que significa emissividade igual a 1). Queremos descobrir qual será a temperatura da superfície da caixa quando ela está irradiando energia de forma uniforme pela parte superior e pelas laterais. Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Stefan-Boltzmann, que relaciona a potência irradiada por um corpo com sua temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Stefan-Boltzmann, que nos diz que a potência irradiada por um corpo negro é dada por:
P = epsilon sigma A T^4
Onde:
  • $ P $ é a potência irradiada,
  • $ \epsilon $ é a emissividade da superfície,
  • $ \sigma $ é a constante de Stefan-Boltzmann ( P ),
  • $ A $ é a área da superfície,
  • $ T $ é a temperatura absoluta da superfície.
No nosso caso, a caixa não está isolada, então precisamos considerar o equilíbrio entre a energia dissipada pelos equipamentos e a energia irradiada para o ambiente. Além disso, como o ambiente também está irradiando de volta para a caixa, a potência líquida irradiada será:
epsilon í
Onde $ T_{amb} $ é a temperatura ambiente (280 K).

Passo 3

Vamos calcular a área irradiada da caixa. A caixa é um cubo com aresta de 0,70 m, então cada face tem área:
Aface = 0,70 , m times 0,70 , m = 0,49 , m^2
Como a parte superior e as laterais estão irradiando, temos 5 faces (1 superior + 4 laterais):
A = 5 times 0,49 , m^2 = 2,45 , m^2

Passo 4

Agora, vamos usar a equação da potência líquida irradiada e igualar à potência dissipada pelos equipamentos:
1200 , W = 0,7 times 5,67 times 10^-8 , W/m^2K^4 times 2,45 , m^2 times (T^4 - 280^4)
Vamos resolver para $ T $.

Passo 5

Primeiro, vamos calcular os valores constantes:
0,7 times 5,67 times 10^-8 times 2,45 = 9,75 times 10^-8 , W/K^4
Agora, a equação fica:
1200 , W = 9,75 times 10^-8 times (T^4 - 280^4)

Passo 6

Isolando $ T^4 $:
T^4
Calculando cada parte:
T^4 = 12009,75 times 10^-8 + 280^4
12009,75 times 10^-8 approx 1,23 times 10^10
Então:
280^4 = 6,146 times 10^9
T^4 = 1,23 times 10^10 + 6,146 times 10^9

Passo 7

Agora, tiramos a raiz quarta para encontrar $ T $:
T
Calculando:
T = raiz[4]1,8446 times 10^10

Resposta

A temperatura da superfície da caixa será aproximadamente 355 K.

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