Uma caixa contém 10 bolas vermelhas e 5 pretas. Extrai-se uma bola da caixa. Se ela é vermelha, ela é recolocada na caixa. Se é preta, além de recolocá-la na caixa, adiciona-se duas bolas pretas à caixa. Determine a probabilidade de que uma segunda bola extraída da caixa seja
a) Vermelha;
b) Preta. Descreva os eventos envolvidos e use a teoria para resolvê-la.

Passo 1

O enunciado diz que temos inicialmente uma urna com 10 bolas vermelhas e 5 pretas. Extraímos uma bola e, se ela for vermelha, apenas a recolocamos; se for preta, recolocamos e ainda adicionamos 2 bolas pretas. Em seguida fazemos um segundo sorteio e queremos as probabilidades de sair vermelha ou preta no segundo sorteio. O conteúdo usado será probabilidade condicional e a lei da probabilidade total.

Passo 2

Definimos dois eventos no primeiro sorteio:
\;R_1\!: “primeira bola é vermelha”
\;P_1\!: “primeira bola é preta”
As probabilidades iniciais são
P(R_1)=\frac{10}{15}, \quad P(P_1)=\frac{5}{15}\,.

Passo 3

Para cada caso, determinamos a nova composição e a probabilidade de tirar uma vermelha ( R_2) ou preta ( P_2) no segundo sorteio:
Se R_1 ocorreu, nada muda: continuam 10 bolas vermelhas e 5 pretas, total 15.
P(R_2\mid R_1)=\frac{10}{15}, \quad P(P_2\mid R_1)=\frac{5}{15}.
Se P_1 ocorreu, recolocamos a preta e ainda adicionamos 2 pretas, ficando 10 vermelhas e 7 pretas, total 17.
P(R_2\mid P_1)=\frac{10}{17}, \quad P(P_2\mid P_1)=\frac{7}{17}.

Passo 4

Pela lei da probabilidade total,
P(R_2) = P(R_1)\,P(R_2\mid R_1) \;+\; P(P_1)\,P(R_2\mid P_1) = \frac{10}{15}\cdot\frac{10}{15} \;+\;\frac{5}{15}\cdot\frac{10}{17} = \frac{4}{9} + \frac{10}{51} = \frac{98}{153}.

Passo 5

Como P(P_2)=1 - P(R_2), temos
P(P_2)=1 - \frac{98}{153}=\frac{55}{153}.

Resposta

a) \displaystyle\frac{98}{153}
b) \displaystyle\frac{55}{153}

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