Extrai-se duas bolas, com reposição da primeira, de uma caixa contendo 3 bolas brancas e 2 bolas pretas.
a) Construa um espaço amostral com pontos igualmente prováveis para este experimento
b) Determine a probabilidade de que as bolas extraídas sejam da mesma cor.
c) Determine a probabilidade de que, pelo menos, uma das bolas extraídas seja branca.

Passo 1

O enunciado descreve um experimento de probabilidade discreta: extraem-se duas bolas, com reposição da primeira, de uma urna contendo 3 bolas brancas e 2 pretas. Precisamos (a) construir um espaço amostral com pontos igualmente prováveis, (b) calcular a probabilidade de ambas as bolas serem da mesma cor e (c) a probabilidade de sair pelo menos uma branca.

Passo 2

Para ter pontos igualmente prováveis, etiquetamos as bolas: W_1,W_2,W_3 (brancas) e B_1,B_2 (pretas). No primeiro sorteio há 5 possibilidades, e, como há reposição, no segundo também há 5. Assim
S = \{(i,j)\mid i,j\in\{W_1,W_2,W_3,B_1,B_2\}\}.
Cada resultado (i,j) ocorre com probabilidade
P(i,j)=\frac{1}{5}\times\frac{1}{5}=\frac{1}{25}.

Passo 3

Para “mesma cor” queremos ou as duas brancas ou as duas pretas.
Número de pares brancos: 3\times3=9.
Número de pares pretos: 2\times2=4.
Total de casos favoráveis: 9+4=13.
Logo
P(\text{mesma cor})=\frac{13}{25}.

Passo 4

Para “pelo menos uma branca” usamos o complemento de “nenhuma branca” i.e. duas pretas.
Casos com duas pretas: 2 \times 2 = 4.
P(\text{nenhuma branca}) = \frac{4}{25}, \quad P(\text{pelo menos uma branca}) = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}.

Resposta

(a) S = \{(i,j)\mid i,j\in\{W_1,W_2,W_3,B_1,B_2\}\}, cada ponto com P=1/25.
(b) \tfrac{13}{25}.
(c) \tfrac{21}{25}.

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