Suponha que uma fábrica tem duas máquinas A e B, responsáveis, respectivamente, por 60 \% e 40 \% da produção total. A máquina A produz 3 \% de itens defeituosos, enquanto a máquina B produz 5 \% de itens defeituosos. Determine a probabilidade de que um dado item defeituoso foi produzido pela máquina B. Descreva os eventos envolvidos e use a teoria para resolvê-la.

Passo 1

O enunciado descreve duas máquinas na fábrica: a máquina A responde por 60\% da produção e a máquina B por 40\%. Sabe-se que a máquina A produz 3\% de itens defeituosos e a máquina B produz 5\%. Queremos a probabilidade de que, dado um item defeituoso, ele tenha sido produzido pela máquina B. O conteúdo principal aqui é o Teorema de Bayes e a Lei da Probabilidade Total.

Passo 2

Definimos os eventos:
\,A: “o item veio da máquina A”,
\,B: “o item veio da máquina B”,
\,D: “o item é defeituoso”.
As probabilidades conhecidas são
P(A)=0,6,\quad P(B)=0,4,
P(D\mid A)=0,03,\quad P(D\mid B)=0,05.

Passo 3

Pela Lei da Probabilidade Total, a probabilidade de um item ser defeituoso é
P(D)=P(D\mid A)\,P(A)+P(D\mid B)\,P(B).

Passo 4

Pelo Teorema de Bayes, a probabilidade de o item defeituoso ter vindo da máquina B é
P(B\mid D) =\frac{P(D\mid B)\,P(B)}{P(D)}.

Passo 5

Calculando passo a passo:
P(D)=0,03\cdot0,6+0,05\cdot0,4=0,018+0,02=0,038,
P(B\mid D) =\frac{0,05\cdot0,4}{0,038} =\frac{0,02}{0,038} \approx0,5263.

Resposta

A probabilidade desejada é aproximadamente 0{,}5263 (ou cerca de 52{,}63\%).

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