1. Uma caixa d’água de 10 mil litros precisa ser enchida num tempo de 4 h . A tubulação tem diâmetro interno de 25 mm . Qual a vazão e a velocidade do escoamento?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Volume da caixa: \,V_{\text{caixa}}=10{,}000\\ \text{L}.
  • Tempo para encher: \,t=4\\ \text{h}.
  • Diâmetro interno do tubo: \,d=25\\ \text{mm}.
  • O enunciado pede:
    • a vazão volumétrica (taxa de fluxo) do fluido que enche a caixa;
    • a velocidade média do escoamento dentro do tubo.

Passo 2

Converter todas as grandezas para unidades do Sistema Internacional (SI) para trabalhar com as fórmulas com facilidade.
  • Lembrando que \,1{,}000\\ \text{L}=1\\ \text{m}^3. Então V=\frac{10{,}000\\ \text{L}}{1{,}000\\ \text{L/m}^3}=10\\ \text{m}^3.
  • Converter o tempo para segundos (opcional para trabalhar em \text{m}^3/\text{s}): t=4\\ \text{h}=4\cdot 3{,}600\\ \text{s}=14{,}400\\ \text{s}.
  • Converter o diâmetro para metros: d=25\\ \text{mm}=25\cdot 10^{-3}\\ \text{m}=0{,}025\\ \text{m}.

Passo 3

Definir a fórmula da vazão volumétrica e explicar o significado das variáveis.
  • A vazão volumétrica média \,Q é o volume dividido pelo tempo: Q=\frac{V}{t},onde \,V é o volume total que passa (em \text{m}^3) e \,t é o tempo (em \text{s}). A unidade de \,Q no SI é \text{m}^3/\text{s}.

Passo 4

Calcular a vazão volumétrica \,Q seguindo a fórmula e mostrando as contas passo a passo.
Q=\frac{V}{t}=\frac{10\\ \text{m}^3}{14{,}400\\ \text{s}}=0{,}000694444\ldots\\ \text{m}^3/\text{s}.
Para resultados práticos convém também expressar em outras unidades usuais:
  • Em litros por segundo: multiplicar por 1{,}000: Q=0{,}000694444\ldots\\ \text{m}^3/\text{s}\times 1{,}000 =0{,}694444\ldots\\ \text{L/s}.
  • Em \text{m}^3/\text{h}: multiplicar \text{m}^3/\text{s} por 3{,}600 ou simplesmente 10\\ \text{m}^3/4\\ \text{h}=2{,}5\\ \text{m}^3/\text{h}.

Passo 5

Agora vamos à velocidade média do escoamento. Explicar a relação entre vazão, área e velocidade.
  • Para um escoamento uniforme em um tubo de seção transversal constante vale a equação de continuidade: Q=A\cdot v,onde \,A é a área da seção transversal do tubo (em \text{m}^2) e \,v é a velocidade média do escoamento (em \text{m/s}). Assim v=\frac{Q}{A}.

Passo 6

Calcular a área da seção transversal do tubo (círculo) e explicar a fórmula.
  • Área de um círculo de diâmetro \,d:
    A=\frac{\pi d^{2}}{4},
    onde \pi é a constante \approx 3{,}14159 e \,d é o diâmetro em metros.
  • Substituindo \,d=0{,}025\\ \text{m}:
    A=\frac{\pi (0{,}025)^2}{4}=\pi\cdot 0{,}00015625\approx 0{,}00049087385\\ \text{m}^2.

Passo 7

Calcular a velocidade média \,v usando \,v=Q/A e mostrar a conta.
  • Usando \,Q=0{,}000694444\ldots\\ \text{m}^3/\text{s} e \,A\approx 0{,}00049087385\\ \text{m}^2: v=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}000694444\ldots}{0{,}00049087385}\approx 1{,}41421356\\ \text{m/s}.

Passo 8

Interpretações práticas, arredondamentos e verificação rápida.
  • Valores apresentados com 3 algarismos significativos (suficiente para projeto simples): Q\approx 0{,}000694\\ \text{m}^3/\text{s}=0{,}694\\ \text{L/s}=2{,}5\\ \text{m}^3/\text{h},
v\approx 1{,}41\\ \text{m/s}.
  • Verificação rápida da ordem de grandeza: para encher 10\\ \text{m}^3 em 4\\ \text{h} precisamos de cerca de 2{,}5\\ \text{m}^3/\text{h}; com um tubo de diâmetro 25\\ \text{mm} isso gera uma velocidade da ordem de 1 a 2\\ \text{m/s}, então os resultados fazem sentido.

Resposta

Q=0{,}000694444\\ \text{m}^3/\text{s}\approx 0{,}694\\ \text{L/s}=2{,}5\\ \text{m}^3/\text{h}
v\approx 1{,}414\\ \text{m/s}

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