1. Determine a velocidade de saída da água em uma tubulação posicionada na lateral de um tanque cilíndrico de 12 m de altura e 3 m de diâmetro. A tubulação está localizada a uma altura de 3 m acima da base do tanque. Considere que o tanque esteja completamente cheio.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo bem claro):
  • Tanque cilíndrico com altura \,12\\ \text{m}.
  • Diâmetro do cilindro \,3\\ \text{m} (essa informação não é necessária para a velocidade, mas está presente).
  • A tubulação está localizada a uma altura de \,3\\ \text{m} acima da base do tanque.
  • O tanque está completamente cheio, portanto a superfície livre da água está no topo, a \,12\\ \text{m} de altura da base.
O que o exercício pede:
  • Determinar a velocidade de saída da água pela tubulação lateral (velocidade no orifício).

Passo 2

Qual método vamos usar e por quê (explicação didática):
  • Para este tipo de problema usa-se a versão simplificada do Teorema de Bernoulli conhecida como Lei de Torricelli. Ela relaciona a velocidade de saída de um fluido por um orifício com a diferença de altura entre a superfície livre e o orifício.
  • A forma geral da equação de Bernoulli (para um fluido incompressível, sem viscosidade e em regime estacionário) é
p + \tfrac{1}{2}\rho v^{2} + \rho g z = \text{constante},
onde:
  • p é a pressão absoluta no ponto (em Pa),
  • \rho é a densidade do fluido (em kg/m ^3),
  • v é a velocidade do fluido no ponto (em m/s),
  • g é a aceleração da gravidade (em m/s ^2),
  • z é a cota vertical do ponto (em m), medida em relação a uma referência.
  • No nosso caso aplicamos Bernoulli entre o ponto 1 (superfície livre) e o ponto 2 (saída no orifício). Explico passo a passo no próximo passo.

Passo 3

Aplicando Bernoulli entre a superfície livre (ponto 1) e o orifício de saída (ponto 2):
  • No ponto 1 (superfície livre):
    • A pressão é a pressão atmosférica: p_{1}=p_{\text{atm}}.
    • A velocidade da superfície, se o tanque for muito maior que o orifício, é praticamente zero: v_{1}\approx 0.
    • A cota vertical é z_{1}=12\\ \text{m}.
  • No ponto 2 (orifício na lateral):
    • A pressão na saída está também à pressão atmosférica (saindo para a atmosfera): p_{2}=p_{\text{atm}}.
    • A velocidade é a incógnita v_{2}=v.
    • A cota vertical é z_{2}=3\\ \text{m}.
Agora escrevemos Bernoulli entre 1 e 2:
p_{1} + \tfrac{1}{2}\rho v_{1}^{2} + \rho g z_{1} = p_{2} + \tfrac{1}{2}\rho v_{2}^{2} + \rho g z_{2}.
Substituindo p_{1}=p_{2}=p_{\text{atm}} e v_{1}\approx 0 e cancelando p_{\text{atm}}, obtemos
\rho g z_{1} = \tfrac{1}{2}\rho v^{2} + \rho g z_{2}.
Dividindo por \rho e isolando v:
g z_{1} = \tfrac{1}{2} v^{2} + g z_{2} \quad\Rightarrow\quad \tfrac{1}{2} v^{2} = g (z_{1}-z_{2}) \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{2 g (z_{1}-z_{2})}.
Essa é exatamente a fórmula de Torricelli: a velocidade depende apenas da diferença de nível entre a superfície livre e o orifício.

Passo 4

Calcular numericamente:
  • A diferença de altura (cabeça hidráulica) é
h = z_{1}-z_{2} = 12 - 3 = 9\\ \text{m}.
  • Usando g=9,81\\ \text{m/s}^{2}, temos
2 g h = 2 \cdot 9,81 \cdot 9 = 176,58.
  • Então
v = \sqrt{176,58}\approx 13,29\\ \text{m/s}.
Expliquei cada passo para que você consiga reproduzir na prova sem pular etapas.

Passo 5

Observações finais (o que estamos assumindo e dicas para a prova):
  • Assumimos fluido ideal (viscosidade desprezível) e fluxo estacionário; a pressão atmosférica cancela porque superfície e saída estão expostas à mesma pressão.
  • Assumimos que a área do tanque é grande comparada à do orifício, então a velocidade da superfície é desprezível ( v_{1}\approx 0). Se não fosse desprezível, teria que levar em conta.
  • Em situações reais há perdas e um coeficiente de descarga C_{d} (<1) que reduz a vazão/velocidade efetiva: v_{\text{real}} = C_{d}\sqrt{2gh}. Valores típicos de C_{d} para orifícios variam (por exemplo 0,6 a 0,97 dependendo do bordo), então a velocidade real pode ser menor que o valor ideal calculado.
  • Para a prova: decore a forma de Bernoulli e saiba justificar as simplificações (pressões atmosféricas iguais; v_1 desprezível).

Resposta

13,29\\ \text{m/s}

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