- Determine a velocidade de saída da água em uma tubulação posicionada na lateral de um tanque cilíndrico de 12 m de altura e 3 m de diâmetro. A tubulação está localizada a uma altura de 3 m acima da base do tanque. Considere que o tanque esteja completamente cheio.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo bem claro):
- Tanque cilíndrico com altura
. - Diâmetro do cilindro
(essa informação não é necessária para a velocidade, mas está presente). - A tubulação está localizada a uma altura de
acima da base do tanque. - O tanque está completamente cheio, portanto a superfície livre da água está no topo, a
de altura da base.
O que o exercício pede:
- Determinar a velocidade de saída da água pela tubulação lateral (velocidade no orifício).
Passo 2
Qual método vamos usar e por quê (explicação didática):
- Para este tipo de problema usa-se a versão simplificada do Teorema de Bernoulli conhecida como Lei de Torricelli. Ela relaciona a velocidade de saída de um fluido por um orifício com a diferença de altura entre a superfície livre e o orifício.
- A forma geral da equação de Bernoulli (para um fluido incompressível, sem viscosidade e em regime estacionário) é
onde:
-
é a pressão absoluta no ponto (em Pa), -
é a densidade do fluido (em kg/m ), -
é a velocidade do fluido no ponto (em m/s), -
é a aceleração da gravidade (em m/s ), -
é a cota vertical do ponto (em m), medida em relação a uma referência. - No nosso caso aplicamos Bernoulli entre o ponto 1 (superfície livre) e o ponto 2 (saída no orifício). Explico passo a passo no próximo passo.
Passo 3
Aplicando Bernoulli entre a superfície livre (ponto 1) e o orifício de saída (ponto 2):
- No ponto 1 (superfície livre):
- A pressão é a pressão atmosférica:
. - A velocidade da superfície, se o tanque for muito maior que o orifício, é praticamente zero:
. - A cota vertical é
.
- A pressão é a pressão atmosférica:
- No ponto 2 (orifício na lateral):
- A pressão na saída está também à pressão atmosférica (saindo para a atmosfera):
. - A velocidade é a incógnita
. - A cota vertical é
.
- A pressão na saída está também à pressão atmosférica (saindo para a atmosfera):
Agora escrevemos Bernoulli entre 1 e 2:
Substituindo
e
e cancelando
, obtemos
Dividindo por
e isolando
:
Essa é exatamente a fórmula de Torricelli: a velocidade depende apenas da diferença de nível entre a superfície livre e o orifício.
Passo 4
Calcular numericamente:
- A diferença de altura (cabeça hidráulica) é
- Usando
, temos
- Então
Expliquei cada passo para que você consiga reproduzir na prova sem pular etapas.
Passo 5
Observações finais (o que estamos assumindo e dicas para a prova):
- Assumimos fluido ideal (viscosidade desprezível) e fluxo estacionário; a pressão atmosférica cancela porque superfície e saída estão expostas à mesma pressão.
- Assumimos que a área do tanque é grande comparada à do orifício, então a velocidade da superfície é desprezível (
). Se não fosse desprezível, teria que levar em conta. - Em situações reais há perdas e um coeficiente de descarga
(<1) que reduz a vazão/velocidade efetiva: . Valores típicos de para orifícios variam (por exemplo a dependendo do bordo), então a velocidade real pode ser menor que o valor ideal calculado. - Para a prova: decore a forma de Bernoulli e saiba justificar as simplificações (pressões atmosféricas iguais;
desprezível).