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motor
acoplado ao conjunto de engrenagens transmite 15 kW do motor
à máquina
. Sabendo que o eixo do motor gira a 3600 rpm e a tensão de cisalhamento admissível é de 60 MPa em cada eixo, determine o diâmetro necessário do (a) eixo
; (b) eixo
e (c) eixo
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o diâmetro necessário de cada eixo para que a tensão de cisalhamento admissível não seja ultrapassada, dado que o motor transmite potência à máquina através de um conjunto de engrenagens. As perguntas são, portanto:
- (a) qual o diâmetro do eixo
; - (b) qual o diâmetro do eixo
; - (c) qual o diâmetro do eixo
.
Informações fornecidas (peguei estes dados da figura/enunciado):
- Potência transmitida pelo motor:
. - Velocidade do eixo do motor:
. - Tensão de cisalhamento admissível em cada eixo:
. - Geometrias das engrenagens (peguei da imagem): pares de engrenagens com diâmetros de
(pequenas) engrenando com (grandes). Especificamente: - Engrenagem
(no eixo ): . - Engrenagem
(no eixo ): . - Engrenagem
(no eixo ): . - Engrenagem
(no eixo ): .
- Engrenagem
O que vamos fazer (resumido, sem resolver ainda): calcular as velocidades angulares/rotacionais de cada eixo a partir das relações entre diâmetros das engrenagens, calcular o torque em cada eixo a partir da potência e velocidade, e então obter o diâmetro mínimo para cada eixo usando a fórmula da tensão de cisalhamento em um eixo circular maciço.
Passo 2
Primeiro: relações entre velocidades por engrenagem. Quando duas engrenagens engrenam, a velocidade angular (ou de rotação) satisfaz a relação de proporcionalidade entre diâmetros (ou números de dentes). Para engrenagens ideais sem escorregamento:
onde
é diâmetro e
é velocidade em rpm. Assim, se uma engrenagem menor aciona uma maior, a maior gira mais devagar.
Aplicando ao par
(60 mm) que acopla
(150 mm):
Como
é a velocidade do eixo do motor (eixo
), temos
. Substituindo os diâmetros (peguei estes diâmetros da imagem):
Aplicando ao par
(60 mm) que acopla
(150 mm): o eixo
(que contém a engrenagem
) tem velocidade
, logo a velocidade do eixo de saída
é
Resumo das velocidades:
-
, -
, -
.
Passo 3
Agora vamos calcular o torque em cada eixo. A fórmula que relaciona potência
(em watts), velocidade angular
(em rad/s) e torque
(em N·m) é
Como normalmente trabalhamos com velocidade de rotação
(em rpm), usamos
. Assim
onde a expressão numérica
é conveniente para
em kW e
em rpm, e dá
em N·m.
Vou usar ambas as formas e mostrar o cálculo com números. Potência
.
Torque no eixo
(motor):
Torque no eixo
(intermediário):
Torque no eixo
(saída):
Comentário amigo: vê como o torque cresce à medida que a rotação cai pelas reduções de engrenagem — é a vantagem da transmissão por engrenagens quando quer mais torque na saída.
Passo 4
Agora a parte da resistência do eixo: para um eixo circular maciço submetido a torque puro
, a tensão de cisalhamento máxima (tensão de torção) na superfície é
onde
é o raio do eixo e
é o momento polar de inércia da seção circular. Para uma seção circular maciça de diâmetro
:
Substituindo e simplificando obtém-se a fórmula usual:
Queremos que
. Tomando igualdade para encontrar o diâmetro mínimo:
Explico as variáveis:
-
é o torque em N·m (ou N·mm — cuidado com unidades), -
é a tensão de cisalhamento admissível (aqui ), -
resultará em metros se estiver em N·m e em N/m^2, ou em mm se usarmos em N·mm e em N/mm^2. Vou trabalhar em N·mm e N/mm^2 para obter em mm (mais prático).
Passo 5
Converter torques para N·mm (multiplicar por
) e usar
.
Cálculo para o eixo
:
Cálculo para o eixo
:
Cálculo para o eixo
:
Interpretação final (amigável): esses valores são os diâmetros mínimos teóricos para que a tensão de cisalhamento não ultrapasse
. Na prática costuma-se adotar um pouco maior para folgas, chavetas, chanfros e segurança (por exemplo, escolher barras de 16 mm, 22 mm e 28 mm padrão), mas os mínimos calculados são os acima.