1. (2,5) O motor A acoplado ao conjunto de engrenagens transmite 15 kW do motor A à máquina F. Sabendo que o eixo do motor gira a 3600 rpm e a tensão de cisalhamento admissível é de 60 MPa em cada eixo, determine o diâmetro necessário do (a) eixo A B; (b) eixo C D e (c) eixo E F.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o diâmetro necessário de cada eixo para que a tensão de cisalhamento admissível não seja ultrapassada, dado que o motor transmite potência à máquina através de um conjunto de engrenagens. As perguntas são, portanto:
  • (a) qual o diâmetro do eixo A B;
  • (b) qual o diâmetro do eixo C D;
  • (c) qual o diâmetro do eixo E F.
Informações fornecidas (peguei estes dados da figura/enunciado):
  • Potência transmitida pelo motor: P=15\\ \text{kW}.
  • Velocidade do eixo do motor: n_{\text{motor}}=3600\\ \text{rpm}.
  • Tensão de cisalhamento admissível em cada eixo: \tau_{\text{adm}}=60\\ \text{MPa}.
  • Geometrias das engrenagens (peguei da imagem): pares de engrenagens com diâmetros de 60\\ \text{mm} (pequenas) engrenando com 150\\ \text{mm} (grandes). Especificamente:
    • Engrenagem B (no eixo A B): d_B=60\\ \text{mm}.
    • Engrenagem C (no eixo C D): d_C=150\\ \text{mm}.
    • Engrenagem D (no eixo C D): d_D=60\\ \text{mm}.
    • Engrenagem E (no eixo E F): d_E=150\\ \text{mm}.
O que vamos fazer (resumido, sem resolver ainda): calcular as velocidades angulares/rotacionais de cada eixo a partir das relações entre diâmetros das engrenagens, calcular o torque em cada eixo a partir da potência e velocidade, e então obter o diâmetro mínimo para cada eixo usando a fórmula da tensão de cisalhamento em um eixo circular maciço.

Passo 2

Primeiro: relações entre velocidades por engrenagem. Quando duas engrenagens engrenam, a velocidade angular (ou de rotação) satisfaz a relação de proporcionalidade entre diâmetros (ou números de dentes). Para engrenagens ideais sem escorregamento:
d_1 n_1 = d_2 n_2,
onde d é diâmetro e n é velocidade em rpm. Assim, se uma engrenagem menor aciona uma maior, a maior gira mais devagar.
Aplicando ao par B (60 mm) que acopla C (150 mm):
n_C = n_B \frac{d_B}{d_C}.
Como n_B é a velocidade do eixo do motor (eixo A B), temos n_B = n_{\text{motor}} = 3600\\ \text{rpm}. Substituindo os diâmetros (peguei estes diâmetros da imagem):
n_C = 3600 \cdot \frac{60}{150} = 3600 \cdot 0{,}4 = 1440\\ \text{rpm}.
Aplicando ao par D (60 mm) que acopla E (150 mm): o eixo C D (que contém a engrenagem D) tem velocidade n_C, logo a velocidade do eixo de saída E F é
n_{E} = n_C \cdot \frac{d_D}{d_E} = 1440 \cdot \frac{60}{150} = 1440 \cdot 0{,}4 = 576\\ \text{rpm}.
Resumo das velocidades:
  • n_{A B}=3600\\ \text{rpm},
  • n_{C D}=1440\\ \text{rpm},
  • n_{E F}=576\\ \text{rpm}.

Passo 3

Agora vamos calcular o torque em cada eixo. A fórmula que relaciona potência P (em watts), velocidade angular \omega (em rad/s) e torque T (em N·m) é
P = T \omega.
Como normalmente trabalhamos com velocidade de rotação n (em rpm), usamos \omega = \dfrac{2\pi n}{60}. Assim
T = \frac{P}{\omega} = \frac{P}{2\pi n/60} = \frac{60P}{2\pi n} = \frac{9550\,P_{\text{(kW)}}}{n},
onde a expressão numérica 9550 é conveniente para P em kW e n em rpm, e dá T em N·m.
Vou usar ambas as formas e mostrar o cálculo com números. Potência P=15\\ \text{kW}.
Torque no eixo A B (motor):
T_{A B}=\frac{9550\cdot 15}{3600}=\frac{143250}{3600}=39{,}78873577\\ \text{N}\cdot\text{m}\approx39{,}79\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Torque no eixo C D (intermediário):
T_{C D}=\frac{9550\cdot 15}{1440}=\frac{143250}{1440}=99{,}47916667\\ \text{N}\cdot\text{m}\approx99{,}48\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Torque no eixo E F (saída):
T_{E F}=\frac{9550\cdot 15}{576}=\frac{143250}{576}=248{,}6979167\\ \text{N}\cdot\text{m}\approx248{,}70\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Comentário amigo: vê como o torque cresce à medida que a rotação cai pelas reduções de engrenagem — é a vantagem da transmissão por engrenagens quando quer mais torque na saída.

Passo 4

Agora a parte da resistência do eixo: para um eixo circular maciço submetido a torque puro T, a tensão de cisalhamento máxima (tensão de torção) na superfície é
\tau_{\max}=\frac{T c}{J},
onde c é o raio do eixo e J é o momento polar de inércia da seção circular. Para uma seção circular maciça de diâmetro d:
c=\frac{d}{2},\qquad J=\frac{\pi d^{4}}{32}.
Substituindo e simplificando obtém-se a fórmula usual:
\tau_{\max}=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}.
Queremos que \tau_{\max}\le \tau_{\text{adm}}. Tomando igualdade para encontrar o diâmetro mínimo:
\tau_{\text{adm}}=\frac{16\,T}{\pi d^{3}} \quad\Rightarrow\quad d=\left(\frac{16\,T}{\pi\,\tau_{\text{adm}}}\right)^{1/3}.
Explico as variáveis:
  • T é o torque em N·m (ou N·mm — cuidado com unidades),
  • \tau_{\text{adm}} é a tensão de cisalhamento admissível (aqui 60\\ \text{MPa}=60\\ \text{N}/\text{mm}^2),
  • d resultará em metros se T estiver em N·m e \tau em N/m^2, ou em mm se usarmos T em N·mm e \tau em N/mm^2. Vou trabalhar em N·mm e N/mm^2 para obter d em mm (mais prático).

Passo 5

Converter torques para N·mm (multiplicar por 1000) e usar \tau_{\text{adm}}=60\\ \text{N}/\text{mm}^2.
Cálculo para o eixo A B:
T_{A B}=39{,}78873577\\ \text{N}\cdot\text{m}=39788{,}73577\\ \text{N}\cdot\text{mm}.
d_{A B}=\left(\frac{16\cdot 39788{,}73577}{\pi\cdot 60}\right)^{1/3} =\left(\frac{636619{,}7723}{188{,}4955592}\right)^{1/3} =\left(3376{,}000\right)^{1/3}\approx15{,}00\\ \text{mm}.
Cálculo para o eixo C D:
T_{C D}=99{,}47916667\\ \text{N}\cdot\text{m}=99479{,}16667\\ \text{N}\cdot\text{mm}.
d_{C D}=\left(\frac{16\cdot 99479{,}16667}{\pi\cdot 60}\right)^{1/3} =\left(\frac{1591666{,}667}{188{,}4955592}\right)^{1/3} =\left(8444{,}4444\right)^{1/3}\approx20{,}36\\ \text{mm}.
Cálculo para o eixo E F:
T_{E F}=248{,}6979167\\ \text{N}\cdot\text{m}=248697{,}9167\\ \text{N}\cdot\text{mm}.
d_{E F}=\left(\frac{16\cdot 248697{,}9167}{\pi\cdot 60}\right)^{1/3} =\left(\frac{3979166{,}667}{188{,}4955592}\right)^{1/3} =\left(21111{,}1111\right)^{1/3}\approx27{,}65\\ \text{mm}.
Interpretação final (amigável): esses valores são os diâmetros mínimos teóricos para que a tensão de cisalhamento não ultrapasse 60\\ \text{MPa}. Na prática costuma-se adotar um pouco maior para folgas, chavetas, chanfros e segurança (por exemplo, escolher barras de 16 mm, 22 mm e 28 mm padrão), mas os mínimos calculados são os acima.

Resposta

d_{A B}=15{,}00\\ \text{mm}
d_{C D}=20{,}36\\ \text{mm}
d_{E F}=27{,}65\\ \text{mm}

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