Uma caixa d’água possui uma base quadrada com 3,0 \mathrm{~m} de lado e uma altura de 2,0 \mathrm{~m}. A caixa encontra-se completamente cheia. Calcule o módulo da força exercida pela agua numa das paredes laterais

Passo 1

O enunciado pede: calcular o módulo da força exercida pela água numa das paredes laterais da caixa d’água. Dados fornecidos:
  • lado da base: 3,0\\ \mathrm{m} (logo a largura da parede é b=3,0\\ \mathrm{m});
  • altura da caixa (e da água): 2,0\\ \mathrm{m} (logo a altura da parede é H=2,0\\ \mathrm{m});
  • a caixa está completamente cheia de água.
    O que se pede: o módulo da força resultante que a água aplica sobre uma parede lateral vertical retangular de dimensões b\times H.

Passo 2

Conceito físico que vamos usar (aula rápida e prática):
  • A pressão hidrostática em um ponto da água depende apenas da profundidade medida a partir da superfície livre. A fórmula é
p(y)=\rho g y,
onde:
  • \rho é a densidade do fluido (para água doce tomamos \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3});
  • g é a aceleração da gravidade (tomamos g=9,8\\ \mathrm{m/s^2});
  • y é a profundidade (distância vertical da superfície até o ponto considerado), com y=0 na superfície e y positivo para baixo.
  • A força sobre uma pequena área é a pressão naquele ponto multiplicada pela área.

Passo 3

Modelagem do problema com um elemento de área:
  • Considere um elemento horizontal da parede, à profundidade y, com espessura infinitesimal \mathrm{d}y e comprimento (largura) b.
  • A área desse elemento é
\mathrm{d}A = b\,\mathrm{d}y.
  • A pressão que age nesse elemento é p(y)=\rho g y. Logo a força diferencial sobre esse elemento é
\mathrm{d}F = p(y)\,\mathrm{d}A = \rho g y \cdot b\,\mathrm{d}y.
Expliquei: \mathrm{d}F é a contribuição de um filete fino de altura \mathrm{d}y à força total.

Passo 4

Integração para obter a força total:
  • A força total sobre a parede vem somando (integrando) todas as contribuições \mathrm{d}F desde a superfície ( y=0) até o fundo ( y=H):
F=\int_{0}^{H} \mathrm{d}F = \int_{0}^{H} \rho g y \, b\,\mathrm{d}y.
  • Como \rho, g e b são constantes, elas saem da integral:
F=\rho g b \int_{0}^{H} y\,\mathrm{d}y.
  • Calcule a integral:
\int_{0}^{H} y\,\mathrm{d}y=\left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{0}^{H}=\frac{H^{2}}{2}.
  • Portanto a expressão fechada da força é
F=\rho g b \frac{H^{2}}{2}.
Observação didática: essa fórmula também pode ser entendida como F = p_{\text{média}}\times \text{área}éá, onde p_{\text{média}}=\rho g \dfrac{H}{2}é é a pressão média (porque a pressão varia linearmente de 0 a \rho g H) e a área é bH; multiplicando dá a mesma expressão.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos (passo a passo das contas):
  • Use \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}, b=3,0\\ \mathrm{m}, H=2,0\\ \mathrm{m}.
  • Primeiro calcule \dfrac{H^{2}}{2}:
\frac{H^{2}}{2}=\frac{(2,0)^{2}}{2}=\frac{4,0}{2}=2,0\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Agora a força:
F=\rho g b \frac{H^{2}}{2}=1000\cdot 9,8\cdot 3,0\cdot 2,0.
  • Multiplicando em etapas:
1000\cdot 9,8=9800,
9800\cdot 3,0=29\,400,
29\,400\cdot 2,0=58\,800.
Portanto a força tem módulo 58\,800\\ \mathrm{N} (veja a resposta final na seção indicada).

Passo 6

Comentário didático extra (útil para prova): posição de aplicação da força resultante
  • A distribuição de pressão é triangular (zero na superfície e máxima no fundo). O resultado desta distribuição age num ponto (centro de pressão) localizado a uma profundidade
y_{R}=\frac{\int_{0}^{H} y\;p(y)\,\mathrm{d}y}{\int_{0}^{H} p(y)\,\mathrm{d}y} =\frac{\int_{0}^{H} y^{2}\,\mathrm{d}y}{\int_{0}^{H} y\,\mathrm{d}y} =\frac{\tfrac{H^{3}}{3}}{\tfrac{H^{2}}{2}}=\frac{2H}{3}.
  • Para H=2,0\\ \mathrm{m} isso dá y_{R}=\tfrac{4}{3}\\ \mathrm{m}\approx1,33\\ \mathrm{m} abaixo da superfície. (Isso só é para completar a intuição; a pergunta pedia apenas o módulo da força.)

Resposta

5,88\times10^{4}\\ \mathrm{N}

Exercícios relacionados