Em uma caixa há sete lâmpadas, sendo quatro boas e três queimadas. Retirando três lâmpadas ao acaso, sem reposição, calcule a probabilidade de que:
a) todas sejam boas;
b) todas estejam queimadas;
c) exatamente duas sejam boas;
d) pelo menos duas sejam boas.
a) todas sejam boas;
b) todas estejam queimadas;
c) exatamente duas sejam boas;
d) pelo menos duas sejam boas.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma caixa com 7 lâmpadas: 4 estão boas e 3 estão queimadas. A gente vai retirar 3 lâmpadas de forma aleatória, sem colocar de volta. Precisamos calcular a probabilidade de diferentes situações acontecerem ao retirar essas 3 lâmpadas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade combinatória, que envolve calcular quantas maneiras existem de escolher elementos em grupos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o total de maneiras possíveis de retirar 3 lâmpadas das 7 disponíveis. Isso é dado pelo coeficiente binomial, que representa combinações sem repetição.
A fórmula do coeficiente binomial é:
Onde:
- $ n $ é o total de elementos,
- $ k $ é o número de elementos a serem escolhidos,
- $ ! $ representa o fatorial.
Aplicando no nosso caso:
Então, existem 35 maneiras de escolher 3 lâmpadas dentre as 7.
Passo 3
a) Probabilidade de todas serem boas:
Aqui, queremos que as 3 lâmpadas retiradas sejam todas boas. Temos 4 lâmpadas boas.
Calculamos o número de combinações possíveis de escolher 3 boas dentre as 4:
Então, há 4 maneiras de escolher 3 lâmpadas boas.
A probabilidade é:
Passo 4
b) Probabilidade de todas estarem queimadas:
Agora, queremos que as 3 lâmpadas retiradas sejam todas queimadas. Temos 3 lâmpadas queimadas.
Calculamos o número de combinações possíveis de escolher 3 queimadas dentre as 3:
Há apenas 1 maneira de escolher todas as 3 lâmpadas queimadas.
A probabilidade é:
Passo 5
c) Probabilidade de exatamente duas serem boas:
Aqui, queremos que 2 das lâmpadas sejam boas e 1 seja queimada.
Primeiro, calculamos as combinações para escolher 2 boas dentre as 4:
Depois, calculamos as combinações para escolher 1 queimada dentre as 3:
Multiplicando essas duas quantidades, temos o número de maneiras de escolher exatamente 2 boas e 1 queimada:
A probabilidade é:
Passo 6
d) Probabilidade de pelo menos duas serem boas:
“Pelo menos duas” significa que podem ser duas ou três lâmpadas boas. Já calculamos as probabilidades para esses casos:
- 2 boas: $ P© = \frac{18}{35} $
- 3 boas: $ P(a) = \frac{4}{35} $
Então, somamos essas probabilidades:
Resposta
a) A probabilidade de todas serem boas é aproximadamente
.
b) A probabilidade de todas estarem queimadas é aproximadamente
.
c) A probabilidade de exatamente duas serem boas é aproximadamente
.
d) A probabilidade de pelo menos duas serem boas é aproximadamente
.