Uma caixa é mantida em repouso por * uma corda em um plano inclinado que forma um ângulo teta com a horizontal. Qual é o módulo da aceleração da caixa quando a corda é cortada, despreze o atrito
\bigcirc g
\bigcirc g.sin(teta)
\bigcirc g.cos(teta)
\bigcirc g.tan(teta)
\bigcirc zero

Passo 1

O enunciado pergunta: qual é o módulo da aceleração de uma caixa que estava presa por uma corda em um plano inclinado (ângulo \theta com a horizontal) quando a corda é cortada, desprezando o atrito.
Informações dadas:
  • A caixa está sobre um plano inclinado que forma o ângulo \theta com a horizontal.
  • Antes de cortar a corda a caixa estava em repouso; quando a corda é cortada ela começa a se mover livremente.
  • Não há atrito (desprezamos o atrito).
  • A aceleração da gravidade tem módulo g.
    Pergunta final: calcular o módulo da aceleração da caixa imediatamente após a corda ser cortada.

Passo 2

Vamos listar as forças que atuam na caixa assim que a corda é cortada (isso é importante para aplicar as leis de Newton):
  • Peso: força gravitacional vertical para baixo de módulo mg, onde m é a massa da caixa.
  • Força normal N: perpendicular à superfície do plano, empurrando a caixa para fora do plano.
    Não há força de atrito e a corda foi cortada, então não há mais nenhuma força ao longo do plano além das componentes do peso.

Passo 3

Precisamos decompor o peso mg em duas componentes relativas ao plano inclinado:
  • componente perpendicular ao plano (direção da normal): mg\cos\theta,
  • componente paralela ao plano (direção do movimento para baixo do plano): mg\sin\theta.
Explicação didática dessa decomposição (passo a passo, sem pular etapas):
  • Imagine um triângulo retângulo formado ao projetar o vetor peso sobre as direções “perpendicular ao plano” e “paralela ao plano”.
  • A hipotenusa desse triângulo é o vetor mg.
  • O ângulo entre a direção do peso (vertical) e a direção perpendicular ao plano é exatamente \theta (essa é uma propriedade geométrica do plano inclinado).
  • Pela definição de seno e cosseno num triângulo retângulo:
    • \sin\theta = \dfrac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}. Aqui o cateto oposto ao ângulo \theta é a componente paralela ao plano, logo componente paralela = mg\sin\theta.
    • \cos\theta = \dfrac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}. Aqui o cateto adjacente ao ângulo \theta é a componente perpendicular, logo componente perpendicular = mg\cos\theta.

Passo 4

Agora aplicamos a Segunda Lei de Newton na direção paralela ao plano. A equação vetorial reduzida nessa direção é:
\sum F_{\parallel} = ma_{\parallel}.
A única força nesta direção é a componente do peso que puxa a caixa para baixo do plano, de módulo mg\sin\theta. Tomando a orientação positiva para baixo do plano, temos:
mg\sin\theta = ma,
onde a é o módulo da aceleração ao longo do plano.

Passo 5

Isolando a na equação anterior:
a = \frac{mg\sin\theta}{m}.
O m cancela:
a = g\sin\theta.
Portanto o módulo da aceleração da caixa ao longo do plano é g\sin\theta.

Passo 6

Vou explicar por que as outras opções estão erradas, de modo que você consiga justificar na prova:
  • Não é g: porque g é a aceleração livre no vácuo na direção vertical; aqui o movimento é restrito ao plano inclinado e só a componente do peso ao longo do plano produz aceleração.
  • Não é g\cos\theta: essa é a componente perpendicular do peso (usada para achar a normal), não a que causa movimento ao longo do plano.
  • Não é g\tan\theta: \tan\theta aparece em relações entre componentes (por exemplo \tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}), mas não é a aceleração aqui — usar \tan\theta daria uma dependência errada de a e até com dimensões diferentes se multiplicada por g sem justificativa.
  • Não é zero: somente seria zero se as forças se equilibrarem na direção do movimento; aqui existe uma componente não-zero mg\sin\theta ao longo do plano que acelera a caixa.

Passo 7

Exemplo numérico (para intuição): se \theta = 30^\circ, então \sin 30^\circ = \tfrac{1}{2}. Assim
a = g\sin 30^\circ = g\cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{g}{2}.
Com g\approx 9{,}8\\ \text{m/s}^2, isso dá a\approx 4{,}9\\ \text{m/s}^2. Serve para você ver que a aceleração é menor que g e depende do ângulo.

Resposta

g\sin\theta

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