4- Uma partícula de massa M está restrita a se mover na superfície de um cilindro definido por x^{2}+y^{2}=R^{2}. A partícula está sujeita a uma força direcionada à origem: \mathbf{F}=-k r. Com z e \theta como coordenadas generalizadas, determine:
a) A lagrangeana ndo sistema
b) A frequencia de oscilação do objeto

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • a) Determinar a lagrangeana do sistema usando z e \theta como coordenadas generalizadas.
  • b) Determinar a frequência de oscilação do objeto ao longo da direção z.
Informações dadas e condições relevantes:
  • A partícula tem massa M.
  • A partícula está restrita à superfície de um cilindro fixo de raio R, isto é, x^{2}+y^{2}=R^{2}. Portanto R é constante e a coordenada radial no plano xy vale R.
  • Existe uma força central dirigida à origem dada por \mathbf{F}=-k\,\mathbf{r}, onde \mathbf{r} é o vetor posição desde a origem. Isso indica uma força linear (tipo mola) que aponta para o centro.
  • As coordenadas generalizadas escolhidas são z (altura ao longo do eixo do cilindro) e \theta (ângulo azimutal no plano xy).

Passo 2

Vamos escrever a posição e a velocidade da partícula em termos de \theta e z.
  • Posição em coordenadas cilíndricas (com raio fixo R):
x = R\cos\theta,\qquad y = R\sin\theta,\qquad z = z.
  • Derivando em relação ao tempo para obter as componentes de velocidade:
\dot{x} = -R\dot{\theta}\sin\theta,\qquad \dot{y} = R\dot{\theta}\cos\theta,\qquad \dot{z}=\dot{z}.
  • O quadrado da velocidade escalar é a soma dos quadrados das componentes:
v^{2}=\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}=R^{2}\dot{\theta}^{2}+\dot{z}^{2}.
Aqui eu mostrei cada componente e somei para obter v^{2}; esse passo é essencial porque a energia cinética depende de v^{2}.

Passo 3

Agora escrevemos a energia cinética T.
  • Definição: a energia cinética de uma partícula é T=\tfrac{1}{2}M v^{2}.
  • Usando v^{2} do passo anterior:
T=\tfrac{1}{2}M\bigl(R^{2}\dot{\theta}^{2}+\dot{z}^{2}\bigr).
Explanação didática: cada coordenada generalizada com velocidade aparece quadrática na energia cinética; como R é constante, a contribuição angular é \tfrac{1}{2}M R^{2}\dot{\theta}^{2}, que age como um termo rotacional.

Passo 4

Determinar a energia potencial U associada à força \mathbf{F}=-k\mathbf{r}.
  • Primeiro, o módulo da posição desde a origem (distância radial 3D) é
\rho=\sqrt{R^{2}+z^{2}},
pois x^{2}+y^{2}=R^{2} e z é a coordenada axial.
  • A força é central e radial com componente F_{\rho}=-k\rho. Para forças conservativas radiais, a energia potencial satisfaz F_{\rho}=-\dfrac{dU}{d\rho}. Assim
-\frac{dU}{d\rho}=-k\rho\quad\Rightarrow\quad \frac{dU}{d\rho}=k\rho.
  • Integrando em \rho:
U(\rho)=\tfrac{1}{2}k\rho^{2}+C=\tfrac{1}{2}k\bigl(R^{2}+z^{2}\bigr)+C,
onde C é uma constante arbitrária de referência de potencial. Em lagrangeana podemos escolher C=0 ou simplesmente ignorar constantes que não afetam as equações de movimento.
Comentário didático: é a mesma forma de potencial de uma mola central; o termo \tfrac{1}{2}kR^{2} é constante porque R é fixo — podemos descartá-lo se quisermos simplificar.

Passo 5

Construir a lagrangeana L=T-U em termos de \theta,\dot{\theta},z,\dot{z}.
  • Substituindo os resultados dos passos 3 e 4 (com C=0 para simplificar):
L=\tfrac{1}{2}M\bigl(R^{2}\dot{\theta}^{2}+\dot{z}^{2}\bigr)-\tfrac{1}{2}k\bigl(R^{2}+z^{2}\bigr).
  • Podemos também escrever, explicitando que o termo constante pode ser removido sem alterar as equações de movimento:
L=\tfrac{1}{2}M\bigl(R^{2}\dot{\theta}^{2}+\dot{z}^{2}\bigr)-\tfrac{1}{2}k z^{2}+(\text{constante}).
Didática: a lagrangeana é uma função das coordenadas e velocidades generalizadas. Note que L não depende explicitamente de \theta (apenas de \dot{\theta}), então \theta é uma coordenada cíclica.

Passo 6

Vamos obter as equações de movimento via equações de Euler–Lagrange e identificar constantes de movimento.
  • Para \theta: como \partial L/\partial\theta=0, a quantidade conjugada
p_{\theta}=\frac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}=M R^{2}\dot{\theta}
é conservada (momento angular em torno do eixo z). Assim
M R^{2}\dot{\theta}= \ell \quad\Rightarrow\quad \dot{\theta}=\frac{\ell}{M R^{2}},
onde \ell é constante (momento angular).
  • Para z: aplicar Euler–Lagrange
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{z}}\right)-\frac{\partial L}{\partial z}=0.
Calculando cada termo:
\frac{\partial L}{\partial\dot{z}}=M\dot{z},\qquad \frac{d}{dt}\bigl(M\dot{z}\bigr)=M\ddot{z},
\frac{\partial L}{\partial z}=-k z.
Logo a equação de movimento em z é
M\ddot{z}+k z=0.
Explicação: note que essa equação é independente de \theta e do momento angular; não há acoplamento entre a oscilação axial e o giro porque a força central depende só da distância \rho e, com R constante, o termo angular só aparece como constante na energia cinética.

Passo 7

Resolver a equação diferencial para obter a frequência de oscilação.
  • A equação
M\ddot{z}+k z=0
é a equação de um oscilador harmônico simples linear. A solução geral é uma oscilação simples com frequência angular \omega dada por
\omega^{2}=\frac{k}{M}\quad\Rightarrow\quad \omega=\sqrt{\frac{k}{M}}.
  • A frequência (cíclica) usual f seria f=\omega/(2\pi), se for necessário o valor em hertz.
Comentário didático: essa frequência é exatamente a mesma que a de uma massa ligada a uma mola de constante k no caso unidimensional — aqui a geometria fixa do cilindro não altera a constante efetiva do termo em z.

Resposta

a) L=\tfrac{1}{2}M\bigl(R^{2}\dot{\theta}^{2}+\dot{z}^{2}\bigr)-\tfrac{1}{2}k\bigl(R^{2}+z^{2}\bigr)\n
b) \omega=\sqrt{\dfrac{k}{M}}

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