4- Uma partícula de massa
está restrita a se mover na superfície de um cilindro definido por
. A partícula está sujeita a uma força direcionada à origem:
. Com z e
como coordenadas generalizadas, determine:
a) A lagrangeana ndo sistema
b) A frequencia de oscilação do objeto
a) A lagrangeana ndo sistema
b) A frequencia de oscilação do objeto
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- a) Determinar a lagrangeana do sistema usando
e como coordenadas generalizadas. - b) Determinar a frequência de oscilação do objeto ao longo da direção
.
Informações dadas e condições relevantes:
- A partícula tem massa
. - A partícula está restrita à superfície de um cilindro fixo de raio
, isto é, . Portanto é constante e a coordenada radial no plano vale . - Existe uma força central dirigida à origem dada por
, onde é o vetor posição desde a origem. Isso indica uma força linear (tipo mola) que aponta para o centro. - As coordenadas generalizadas escolhidas são
(altura ao longo do eixo do cilindro) e (ângulo azimutal no plano ).
Passo 2
Vamos escrever a posição e a velocidade da partícula em termos de
e
.
- Posição em coordenadas cilíndricas (com raio fixo
):
- Derivando em relação ao tempo para obter as componentes de velocidade:
- O quadrado da velocidade escalar é a soma dos quadrados das componentes:
Aqui eu mostrei cada componente e somei para obter
; esse passo é essencial porque a energia cinética depende de
.
Passo 3
Agora escrevemos a energia cinética
.
- Definição: a energia cinética de uma partícula é
. - Usando
do passo anterior:
Explanação didática: cada coordenada generalizada com velocidade aparece quadrática na energia cinética; como
é constante, a contribuição angular é
, que age como um termo rotacional.
Passo 4
Determinar a energia potencial
associada à força
.
- Primeiro, o módulo da posição desde a origem (distância radial 3D) é
pois
e
é a coordenada axial.
- A força é central e radial com componente
. Para forças conservativas radiais, a energia potencial satisfaz . Assim
- Integrando em
:
onde
é uma constante arbitrária de referência de potencial. Em lagrangeana podemos escolher
ou simplesmente ignorar constantes que não afetam as equações de movimento.
Comentário didático: é a mesma forma de potencial de uma mola central; o termo
é constante porque
é fixo — podemos descartá-lo se quisermos simplificar.
Passo 5
Construir a lagrangeana
em termos de
.
- Substituindo os resultados dos passos 3 e 4 (com
para simplificar):
- Podemos também escrever, explicitando que o termo constante pode ser removido sem alterar as equações de movimento:
Didática: a lagrangeana é uma função das coordenadas e velocidades generalizadas. Note que
não depende explicitamente de
(apenas de
), então
é uma coordenada cíclica.
Passo 6
Vamos obter as equações de movimento via equações de Euler–Lagrange e identificar constantes de movimento.
- Para
: como , a quantidade conjugada
é conservada (momento angular em torno do eixo
). Assim
onde
é constante (momento angular).
- Para
: aplicar Euler–Lagrange
Calculando cada termo:
Logo a equação de movimento em
é
Explicação: note que essa equação é independente de
e do momento angular; não há acoplamento entre a oscilação axial e o giro porque a força central depende só da distância
e, com
constante, o termo angular só aparece como constante na energia cinética.
Passo 7
Resolver a equação diferencial para obter a frequência de oscilação.
- A equação
é a equação de um oscilador harmônico simples linear. A solução geral é uma oscilação simples com frequência angular
dada por
- A frequência (cíclica) usual
seria , se for necessário o valor em hertz.
Comentário didático: essa frequência é exatamente a mesma que a de uma massa ligada a uma mola de constante
no caso unidimensional — aqui a geometria fixa do cilindro não altera a constante efetiva do termo em
.
Resposta
a)
\n
b)
b)