Uma caixa de massa 15 kg está apoiada sobre um plano inclinado de 30^circ em relação à horizontal. A caixa está presa por um fio que forma um ângulo de 45^circ com o plano inclinado. Determine a tensão no fio e a força normal exercida pelo plano sobre a caixa.

Passo 1

Beleza! Temos aqui uma caixa de massa m = 15 kg apoiada num plano inclinado de θ = 30° e presa por um fio que faz φ = 45° com o próprio plano. O assunto é equilíbrio de forças (dinâmica estática), então vamos precisar:
  1. Desenhar o diagrama de corpo livre;
  2. Decompor o peso e a tensão nas direções paralela e perpendicular ao plano;
  3. Aplicar ∑F = 0 em cada direção para achar T (tensão) e N (força normal).

Passo 2

Desenhando o diagrama de corpo livre e escolhendo eixos:
  • Eixo x: paralelo ao plano (positivo para cima do plano).
  • Eixo y: perpendicular ao plano (positivo pra fora).
Forças atuando:
  1. Peso → vec P = m,g pra baixo.
    • Componente em x: Px = m,gsin30° (puxa pra baixo do plano).
    • Componente em y: Py = m,gcos30° (empurra no plano).
  2. Tensão → vec T faz 45° acima do plano.
    • Componente em x: Tx = Tcos45° (puxa pra cima do plano).
    • Componente em y: Ty = Tsin45° (puxa pra dentro do plano).
  3. Normal → N perpendicular pra fora do plano.

Passo 3

Equilíbrio na direção paralela (eixo x):
Como está em repouso, ∑F_x = 0 →
Tcos45° - m gsin30° = 0
Logo
T = m g ,sin30°cos45° = 15cdot9.8cdot12raiz22 = 15cdot9.8raiz2 approx 104 N

Passo 4

Equilíbrio na direção perpendicular (eixo y):
∑F_y = 0 →
N + Tsin45° - m gcos30° = 0
Então
N = m gcos30° - Tsin45°
Calculando:
  • m gcos30° = 15cdot9.8cdotraiz32approx127.3,N
  • Tsin45° = 104cdotraiz22approx73.5,N
    Logo
N approx 127.3 - 73.5 = 53.8 N

Resposta

Tensão no fio: ≈ 104 N
Força normal: ≈ 53.8 N

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