- Uma caixa de massa
é arrastada com velocidade constante sobre uma superfície horizontal através de uma corda inclinada de um ângulo
acima da horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre a caixa e a superfície é
e o módulo da aceleração da gravidade local é
. Considerando que a caixa deslocou horizontalmente uma distância
, determine: (a) o trabalho realizado pela força exercida pela corda sobre a caixa em função de
e
; (b) o trabalho realizado pela força de atrito em função de
e (c) o trabalho total realizado sobre a caixa.
Passo 1
O enunciado pede três coisas quando a caixa desloca horizontalmente uma distância
:
(a) o trabalho realizado pela força exercida pela corda sobre a caixa;
(b) o trabalho realizado pela força de atrito cinético;
(c) o trabalho total sobre a caixa.
(a) o trabalho realizado pela força exercida pela corda sobre a caixa;
(b) o trabalho realizado pela força de atrito cinético;
(c) o trabalho total sobre a caixa.
Informações e dados fornecidos (que vamos usar):
- massa da caixa:
; - aceleração da gravidade:
; - ângulo da corda com a horizontal:
(a corda puxa para cima, inclinada); - coeficiente de atrito cinético:
; - deslocamento horizontal:
; - a caixa move-se com velocidade constante (portanto aceleração igual a zero).
Estas são todas as informações necessárias para resolver (a), (b) e (c).
Passo 2
Identificação e representação das forças que atuam na caixa (vamos usar isso para escrever as equações de equilíbrio e calcular trabalhos):
- força da corda (tensão)
, de módulo , inclinada a acima da horizontal; suas componentes: horizontal e vertical ; - peso
de módulo , vertical para baixo; - força normal
da superfície, vertical para cima; - força de atrito cinético
, de módulo , dirigida oposta ao deslocamento (ou seja, para a esquerda).
Como a velocidade é constante, a aceleração é zero e as somas das componentes das forças em cada direção são nulas (equilíbrio dinâmico). Vamos aplicar as leis de equilíbrio nas direções vertical e horizontal.
Passo 3
Equilíbrio vertical (somatório das forças verticais = 0) — isso nos dá a normal:
.
Logo .
Logo
Explicação didática: a normal é a força que a superfície exerce para equilibrar o peso menos qualquer componente vertical ascendente da tensão. Como não há movimento vertical, as forças verticais se anulam.
A força de atrito cinético tem módulo dado por
. Substituindo
obtemos
.
Explicação didática: é a razão entre a força de atrito cinético e a normal; essa é a lei empírica do atrito cinético.
Explicação didática:
Passo 4
Equilíbrio horizontal (somatório das forças horizontais = 0): a componente horizontal da tensão puxa para a direita e o atrito puxa para a esquerda, então
.
Substituindo temos
.
Substituindo
Agora resolvemos essa equação para
passo a passo:
.
Passe todos os termos com para o lado esquerdo:
.
Coloque em evidência:
.
Logo isolamos :
.
Passe todos os termos com
Coloque
Logo isolamos
Explicação didática: resolvemos um simples problema algébrico de soma de forças horizontais; é comum isolar a tensão porque ela aparece nas componentes horizontal e vertical.
Passo 5
Cálculo do trabalho realizado pela corda (parte a):
Recordando a definição de trabalho para força constante: o trabalho realizado por uma força de módulo ao deslocar o corpo por um vetor deslocamento
é
, onde
é o ângulo entre a força e o deslocamento.
Recordando a definição de trabalho para força constante: o trabalho realizado por uma força de módulo
Aqui o deslocamento é horizontal de módulo
, a força da corda tem direção inclinada a
acima da horizontal, então o ângulo entre
e o deslocamento é
. Assim o trabalho da corda é
.
Substituímos o valor de
obtido no Passo 4:
Podemos escrever de forma mais organizada:
Explicação didática: fizemos a projeção da força na direção do deslocamento (multiplicando por
) e multiplicamos pelo comprimento do deslocamento.
Passo 6
Cálculo do trabalho realizado pela força de atrito (parte b):
A força de atrito está sempre oposta ao deslocamento, portanto o ângulo entre e
é
e
. Assim, se o módulo de atrito é
, o trabalho do atrito é
.
A força de atrito está sempre oposta ao deslocamento, portanto o ângulo entre
Mas observamos no Passo 4 que, por equilíbrio horizontal,
. Portanto
.
Substituindo o valor de
como em Passo 5, obtemos explicitamente:
Explicação didática: o atrito realiza trabalho negativo porque retira energia do corpo; também por equilíbrio horizontal a componente horizontal da tensão eqüivale em módulo ao atrito.
Passo 7
Cálculo do trabalho total (parte c) e verificação via teorema trabalho-energia:
O trabalho total é a soma dos trabalhos de todas as forças que atuam: corda, atrito, peso e normal. Entretanto, o peso e a normal
são perpendiculares ao deslocamento horizontal, então eles não realizam trabalho (produto escalar é zero). Logo o trabalho total é apenas a soma do trabalho da corda e do atrito:
O trabalho total é a soma dos trabalhos de todas as forças que atuam: corda, atrito, peso e normal. Entretanto, o peso
Como vimos no Passo 6,
. Portanto
Isso também se confirma pelo teorema trabalho-energia: a velocidade é constante, então a variação da energia cinética é zero (
), logo o trabalho líquido sobre a caixa deve ser zero.