1. Uma caixa de massa M é arrastada com velocidade constante sobre uma superfície horizontal através de uma corda inclinada de um ângulo \theta acima da horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre a caixa e a superfície é \mu_{c} e o módulo da aceleração da gravidade local é g. Considerando que a caixa deslocou horizontalmente uma distância L, determine: (a) o trabalho realizado pela força exercida pela corda sobre a caixa em função de M, \quad g, \quad \theta, \mu_{c} e L; (b) o trabalho realizado pela força de atrito em função de M, g, \theta, \mu_{\mathrm{c}} \mathrm{e} L e (c) o trabalho total realizado sobre a caixa.

Passo 1

O enunciado pede três coisas quando a caixa desloca horizontalmente uma distância \,L:
(a) o trabalho realizado pela força exercida pela corda sobre a caixa;
(b) o trabalho realizado pela força de atrito cinético;
(c) o trabalho total sobre a caixa.
Informações e dados fornecidos (que vamos usar):
  • massa da caixa: \,M;
  • aceleração da gravidade: \,g;
  • ângulo da corda com a horizontal: \,\theta (a corda puxa para cima, inclinada);
  • coeficiente de atrito cinético: \,\mu_{c};
  • deslocamento horizontal: \,L;
  • a caixa move-se com velocidade constante (portanto aceleração igual a zero).
Estas são todas as informações necessárias para resolver (a), (b) e (c).

Passo 2

Identificação e representação das forças que atuam na caixa (vamos usar isso para escrever as equações de equilíbrio e calcular trabalhos):
  • força da corda (tensão) \vec{T}, de módulo \,T, inclinada a \theta acima da horizontal; suas componentes: horizontal \,T\cos\theta e vertical \,T\sin\theta;
  • peso \vec{P} de módulo \,Mg, vertical para baixo;
  • força normal \vec{N} da superfície, vertical para cima;
  • força de atrito cinético \vec{f}_{k}, de módulo \,f_{k}, dirigida oposta ao deslocamento (ou seja, para a esquerda).
Como a velocidade é constante, a aceleração é zero e as somas das componentes das forças em cada direção são nulas (equilíbrio dinâmico). Vamos aplicar as leis de equilíbrio nas direções vertical e horizontal.

Passo 3

Equilíbrio vertical (somatório das forças verticais = 0) — isso nos dá a normal:
\,N + T\sin\theta - Mg = 0.
Logo \,N = Mg - T\sin\theta.
Explicação didática: a normal é a força que a superfície exerce para equilibrar o peso menos qualquer componente vertical ascendente da tensão. Como não há movimento vertical, as forças verticais se anulam.
A força de atrito cinético tem módulo dado por \,f_{k} = \mu_{c} N. Substituindo N obtemos \,f_{k} = \mu_{c}(Mg - T\sin\theta).
Explicação didática: \mu_{c} é a razão entre a força de atrito cinético e a normal; essa é a lei empírica do atrito cinético.

Passo 4

Equilíbrio horizontal (somatório das forças horizontais = 0): a componente horizontal da tensão puxa para a direita e o atrito puxa para a esquerda, então
\,T\cos\theta - f_{k} = 0.
Substituindo \,f_{k} = \mu_{c}(Mg - T\sin\theta) temos
\,T\cos\theta = \mu_{c}(Mg - T\sin\theta).
Agora resolvemos essa equação para \,T passo a passo:
\,T\cos\theta = \mu_{c}Mg - \mu_{c}T\sin\theta.
Passe todos os termos com T para o lado esquerdo:
\,T\cos\theta + \mu_{c}T\sin\theta = \mu_{c}Mg.
Coloque T em evidência:
\,T(\cos\theta + \mu_{c}\sin\theta) = \mu_{c}Mg.
Logo isolamos \,T:
\displaystyle T = \frac{\mu_{c}Mg}{\cos\theta + \mu_{c}\sin\theta}.
Explicação didática: resolvemos um simples problema algébrico de soma de forças horizontais; é comum isolar a tensão porque ela aparece nas componentes horizontal e vertical.

Passo 5

Cálculo do trabalho realizado pela corda (parte a):
Recordando a definição de trabalho para força constante: o trabalho realizado por uma força de módulo \,F ao deslocar o corpo por um vetor deslocamento \vec{d} é \,W = \vec{F}\cdot\vec{d} = F\,d\cos\varphi, onde \varphi é o ângulo entre a força e o deslocamento.
Aqui o deslocamento é horizontal de módulo \,L, a força da corda tem direção inclinada a \theta acima da horizontal, então o ângulo entre \vec{T} e o deslocamento é \theta. Assim o trabalho da corda é
\,W_{\text{corda}} = T \, L \cos\theta.
Substituímos o valor de \,T obtido no Passo 4:
\displaystyle W_{\text{corda}} = \frac{\mu_{c}Mg}{\cos\theta + \mu_{c}\sin\theta}\; L \cos\theta.
Podemos escrever de forma mais organizada:
\displaystyle W_{\text{corda}} = \frac{\mu_{c}M g \cos\theta}{\cos\theta + \mu_{c}\sin\theta}\;L.
Explicação didática: fizemos a projeção da força na direção do deslocamento (multiplicando por \cos\theta) e multiplicamos pelo comprimento do deslocamento.

Passo 6

Cálculo do trabalho realizado pela força de atrito (parte b):
A força de atrito está sempre oposta ao deslocamento, portanto o ângulo entre \vec{f}_{k} e \vec{d} é 180^\circ e \cos 180^\circ = -1. Assim, se o módulo de atrito é \,f_{k}, o trabalho do atrito é \,W_{\text{atrito}} = - f_{k} L.
Mas observamos no Passo 4 que, por equilíbrio horizontal, \,f_{k} = T\cos\theta. Portanto
\,W_{\text{atrito}} = -T\cos\theta\,L = -W_{\text{corda}}.
Substituindo o valor de \,T como em Passo 5, obtemos explicitamente:
\displaystyle W_{\text{atrito}} = -\frac{\mu_{c}M g \cos\theta}{\cos\theta + \mu_{c}\sin\theta}\;L.
Explicação didática: o atrito realiza trabalho negativo porque retira energia do corpo; também por equilíbrio horizontal a componente horizontal da tensão eqüivale em módulo ao atrito.

Passo 7

Cálculo do trabalho total (parte c) e verificação via teorema trabalho-energia:
O trabalho total é a soma dos trabalhos de todas as forças que atuam: corda, atrito, peso e normal. Entretanto, o peso \vec{P} e a normal \vec{N} são perpendiculares ao deslocamento horizontal, então eles não realizam trabalho (produto escalar é zero). Logo o trabalho total é apenas a soma do trabalho da corda e do atrito:
\,W_{\text{total}} = W_{\text{corda}} + W_{\text{atrito}}.
Como vimos no Passo 6, W_{\text{atrito}} = -W_{\text{corda}}. Portanto
\,W_{\text{total}} = 0.
Isso também se confirma pelo teorema trabalho-energia: a velocidade é constante, então a variação da energia cinética é zero ( \Delta K = 0), logo o trabalho líquido sobre a caixa deve ser zero.

Resposta

W_{\text{corda}} = \dfrac{\mu_{c}M g \cos\theta}{\cos\theta + \mu_{c}\sin\theta}\;L
W_{\text{atrito}} = -\dfrac{\mu_{c}M g \cos\theta}{\cos\theta + \mu_{c}\sin\theta}\;L
W_{\text{total}} = 0

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