1. Um bloco de 6 kg desliza, descendo um plano inclinado de 37^{\circ}. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície vale 0,25 . (a) Determine a aceleração do bloco. (b) Considerando que o bloco tenha uma velocidade inicial de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, determine a velocidade do bloco após deslizar 2 m plano abaixo.
\cos 37^{\circ}=0,80 \quad \operatorname{sen} 37^{\circ}=0,60

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Determinar a aceleração do bloco enquanto desce o plano inclinado.
  • (b) Sabendo que a velocidade inicial é 2\\ \mathrm{m/s}, determinar a velocidade do bloco após percorrer 2\\ \mathrm{m} ao longo do plano.
Dados fornecidos (vou listar exatamente o que temos):
  • massa do bloco: m=6\\ \mathrm{kg}.
  • ângulo do plano: 37^\circ.
  • coeficiente de atrito cinético: \mu_k=0,25.
  • valores trigonométricos dados no enunciado (peguei esses valores da própria figura/enunciado): \cos 37^\circ=0,80 e \operatorname{sen} 37^\circ=0,60.
  • velocidade inicial: v_0=2\\ \mathrm{m/s}.
  • deslocamento ao longo do plano: s=2\\ \mathrm{m}.
  • vou usar a aceleração da gravidade padrão (g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}) já que o enunciado não especificou outro valor.

Passo 2

Entendendo as forças que atuam (livre de forma didática, como se estivéssemos desenhando o diagrama):
  • Força peso: \vec{P}=m\vec{g} apontando vertical para baixo. Magnitude: P=mg.
  • Normal \vec{N}: reação da superfície, perpendicular ao plano, para fora do plano.
  • Força de atrito cinético \vec{f}_k: atua no sentido oposto ao movimento relativo entre bloco e superfície, ou seja, para cima ao longo do plano. Magnitude: f_k=\mu_k N.
Explicação da decomposição do peso:
  • Para trabalhar no plano inclinado, decompomos mg em duas componentes:
    • componente paralela ao plano (para baixo ao longo do plano): mg\operatorname{sen}\theta,
    • componente perpendicular ao plano: mg\cos\theta.
      Aqui \theta=37^\circ. Usaremos \operatorname{sen} 37^\circ=0,60 e \cos 37^\circ=0,80.

Passo 3

Cálculo da normal N:
  • Como não há movimento na direção perpendicular ao plano, as forças nessa direção se equilibram: N=mg\cos\theta.
  • Substituindo valores: N = m g \cos\theta = 6 \cdot 9,8 \cdot 0,80.
  • Calcule passo a passo: 9,8\cdot0,80=7,84; então N=6\cdot7,84=47,04\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Cálculo da força de atrito cinético f_k:
  • Fórmula: f_k=\mu_k N.
  • Substituindo: f_k = 0,25 \cdot 47,04.
  • Multiplicando: 0,25\cdot47,04=11,76\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Cálculo da componente do peso ao longo do plano (força que puxa o bloco para baixo):
  • Fórmula: F_{\parallel}=mg\operatorname{sen}\theta.
  • Substituindo: F_{\parallel} = 6 \cdot 9,8 \cdot 0,60.
  • Calcule: 9,8\cdot0,60=5,88; então F_{\parallel}=6\cdot5,88=35,28\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Determinar a força resultante ao longo do plano (sentido para baixo positivo):
  • A força que puxa para baixo é F_{\parallel}=35,28\\ \mathrm{N}.
  • A força que age para cima (atrapalhando o deslizamento) é f_k=11,76\\ \mathrm{N}.
  • Então a força resultante é F_{\text{res}} = F_{\parallel} - f_k = 35,28 - 11,76 = 23,52\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Aplicar a Segunda Lei de Newton para achar a aceleração:
  • Newton diz F_{\text{res}} = m a. Isolando a: a = \frac{F_{\text{res}}}{m}.
  • Substituindo F_{\text{res}}=23,52\\ \mathrm{N} e m=6\\ \mathrm{kg}: a = \frac{23,52}{6} = 3,92\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Interpretação: o bloco acelera para baixo ao longo do plano com 3,92\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 8

Preparar para a parte (b): equação de movimento para velocidade com aceleração constante.
  • Como a aceleração é aproximadamente constante, usamos a equação cinemática que não envolve o tempo: v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a s,onde v é a velocidade final, v_0 a inicial, a a aceleração (positiva no sentido do deslocamento) e s o deslocamento ao longo da trajetória (aqui 2\\ \mathrm{m}).

Passo 9

Calcular a velocidade após s=2\\ \mathrm{m}:
  • Substituindo os valores v_0=2\\ \mathrm{m/s}, a=3,92\\ \mathrm{m/s^2}, s=2\\ \mathrm{m}: v^{2} = 2^{2} + 2\cdot 3,92 \cdot 2.
  • Calcule passo a passo: 2^{2}=4. Em seguida 2\cdot 3,92 \cdot 2 = 15,68. Então v^{2} = 4 + 15,68 = 19,68.
  • Tirando raiz quadrada: v = \sqrt{19,68} \approx 4,44\\ \mathrm{m/s}.
  • Interpretação: após descer 2\\ \mathrm{m} pelo plano, sua velocidade é aproximadamente 4,44\\ \mathrm{m/s} (para baixo ao longo do plano).

Resposta

(a) a=3,92\\ \mathrm{m/s^2} (para baixo ao longo do plano).
(b) v=4,44\\ \mathrm{m/s}.

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