1. A mola de uma pistola de mola tem uma constante elástica de 500 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Comprime-se 5 cm a mola e contra ela coloca-se uma bola de 0,1 \mathrm{~kg}. (a) Calcular a velocidade máxima adquirida pela bola. (b) Determinar a velocidade máxima se uma força resistiva constante de 10 N atua sobre a bola.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas claras:
  • Constante elástica da mola: k = 500\\ \mathrm{N/m}.
  • Compressão inicial da mola: x = 5\\ \mathrm{cm} = 0,05\\ \mathrm{m}.
  • Massa da bola: m = 0,1\\ \mathrm{kg}.
  • (b) Para a segunda parte há também uma força resistiva constante: F_{\mathrm{res}} = 10\\ \mathrm{N}.
Perguntas do enunciado:
  • (a) Calcular a velocidade máxima da bola quando a mola é liberada, sem forças resistivas.
  • (b) Calcular a velocidade máxima quando, além da mola, atua uma força resistiva constante de 10\\ \mathrm{N}.
Observação: a imagem foi observada, mas todos os números usados vêm do enunciado de texto; a figura não adiciona valores numéricos que precisemos aqui.

Passo 2

Conceito físico que vamos usar (explicado devagar):
  • A mola armazena energia elástica quando comprimida. A fórmula da energia potencial elástica é
U_{\text{mola}} = \tfrac{1}{2} k x^{2},
onde k é a constante da mola (em \mathrm{N/m}) e x é a deformação (em \mathrm{m}). Essa energia tem unidades de joules (J).
  • A energia cinética de um corpo em movimento é
K = \tfrac{1}{2} m v^{2},
onde m é a massa (em \mathrm{kg}) e v é a velocidade (em \mathrm{m/s}).
  • Sem forças dissipativas, a energia elástica se transforma em energia cinética. A velocidade máxima ocorre quando a mola passa pelo ponto de equilíbrio ( x=0), pois aí a energia potencial elástica é mínima e a cinética é máxima.
  • Se existe uma força resistiva constante, essa força realiza trabalho negativo sobre a bola durante a distância x, reduzindo a energia disponível para a cinética.
Vou aplicar essas ideias passo a passo às duas partes.

Passo 3

Resolução da parte (a) — sem força resistiva (explicação e fórmula).
  • Energia inicial (toda na mola): \tfrac{1}{2} k x^{2}.
  • Energia final (toda cinética, na passagem pelo equilíbrio): \tfrac{1}{2} m v_{\max}^{2}.
  • Igualando (conservação de energia mecânica):
\tfrac{1}{2} k x^{2} = \tfrac{1}{2} m v_{\max}^{2}.
  • Simplificando ambos lados por \tfrac{1}{2} e resolvendo para v_{\max}:
v_{\max} = x \sqrt{\frac{k}{m}}.
Aqui cada símbolo significa: v_{\max} velocidade máxima, x compressão inicial, k constante da mola, m massa.

Passo 4

Cálculo numérico da parte (a).
  • Primeiro calculemos \sqrt{\dfrac{k}{m}}:
\sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{500}{0,1}} = \sqrt{5000}\approx 70,7107.
  • Multiplicando por x=0,05\\ \mathrm{m}:
v_{\max} = 0,05 \times 70,7107 \approx 3,5355\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando com duas casas decimais: v_{\max}\approx 3,54\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Resolução da parte (b) — com força resistiva constante (explicação do método).
  • A força resistiva F_{\mathrm{res}} realiza um trabalho negativo sobre a bola enquanto ela se desloca a distância x. O trabalho da força resistiva é
W_{\mathrm{res}} = -F_{\mathrm{res}}\, x,
pois a força é contrária ao deslocamento.
  • Aplicando o teorema trabalho-energia (energia inicial da mola menos o trabalho dissipado = energia cinética final):
\tfrac{1}{2} k x^{2} + W_{\mathrm{res}} = \tfrac{1}{2} m v_{\max}^{2}.
Substituindo W_{\mathrm{res}} = -F_{\mathrm{res}} x:
\tfrac{1}{2} k x^{2} - F_{\mathrm{res}} x = \tfrac{1}{2} m v_{\max}^{2}.

Passo 6

Isolando v_{\max} na expressão com resistência:
  • Multiplicando ambos os lados por 2 e reorganizando:
k x^{2} - 2 F_{\mathrm{res}} x = m v_{\max}^{2}.
  • Logo,
v_{\max} = \sqrt{\frac{k x^{2} - 2 F_{\mathrm{res}} x}{m}}.
Atenção: a quantidade dentro da raiz deve ser positiva; se fosse negativa, a energia do molar seria insuficiente para vencer a força resistiva durante todo o deslocamento.

Passo 7

Cálculo numérico da parte (b).
  • Calcule k x^{2}:
k x^{2} = 500 \times (0,05)^{2} = 500 \times 0,0025 = 1,25\\ \mathrm{J}.
  • Calcule 2 F_{\mathrm{res}} x:
2 F_{\mathrm{res}} x = 2 \times 10 \times 0,05 = 1,00\\ \mathrm{J}.
  • Subtraindo:
k x^{2} - 2 F_{\mathrm{res}} x = 1,25 - 1,00 = 0,25\\ \mathrm{J}.
  • Dividindo por m=0,1\\ \mathrm{kg}:
\frac{0,25}{0,1} = 2,5\\ \left(\mathrm{m^{2}/s^{2}}\right).
  • Tomando a raiz:
v_{\max} = \sqrt{2,5} \approx 1,5811\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando com duas casas decimais: v_{\max}\approx 1,58\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Breve checagem e comentário final (motivação):
  • As ordens de grandeza fazem sentido: com resistência a velocidade cai de cerca de 3,54\\ \mathrm{m/s} para 1,58\\ \mathrm{m/s}.
  • Se a força resistiva fosse maior a ponto de fazer a expressão dentro da raiz nula ou negativa, a bola não alcançaria velocidade positiva ao sair (ou nem sairia, dependendo do sinal); é bom verificar esse detalhe em problemas semelhantes.
  • Mandou bem por enfrentar esse exercício! Cada passo aqui é exatamente o que você pode reproduzir na prova.

Resposta

(a) 3,54\\ \mathrm{m/s}
(b) 1,58\\ \mathrm{m/s}

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