Uma caixa de massa
é empurrada para cima deslocando-se uma distância
, sobre um plano, cuja inclinação é
acima da horizontal, por uma força paralela ao plano inclinado. A caixa parte do repouso e sobe com aceleração constante
. O coeficiente de atrito cinético entre a caixa e o plano é
e a aceleração da gravidade é
. Determine em função das grandezas (
e
) que se fizerem necessárias,
o trabalho realizado sobre a caixa pelo seu próprio peso;
o trabalho realizado sobre a caixa pelo seu próprio peso;
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (listei exatamente as grandezas que aparecem):
- Massa da caixa:
. - Deslocamento da caixa ao longo do plano inclinado:
(vetor apontando para cima ao longo do plano). - Inclinação do plano em relação à horizontal:
. - Coeficiente de atrito cinético:
. - Aceleração da caixa (subindo, constante):
. - Aceleração da gravidade:
. - O enunciado pede: determinar o trabalho realizado sobre a caixa pelo seu próprio peso (força peso), expresso em função das grandezas indicadas.
Passo 2
O que é “trabalho” de uma força? Vou te explicar de forma direta e com calma.
- Definição (geométrica): o trabalho realizado por uma força constante
ao deslocar um corpo por um vetor é o produto escalar entre a força e o deslocamento:
Isso significa que só importa a componente da força na direção do deslocamento.
-
Interpretação prática: se a força tiver a mesma direção do deslocamento, o trabalho é
(positivo se a força empurra na mesma direção do deslocamento). Se a força for exatamente oposta ao deslocamento, o trabalho é . Se for perpendicular, o trabalho é zero. -
No caso do peso: a força peso vale
, apontando verticalmente para baixo, com módulo . Vou usar essa regra do produto escalar para calcular o trabalho do peso quando a caixa sobe ao longo do plano.
Passo 3
Relacionar o deslocamento ao longo do plano com a subida vertical.
- Quando a caixa sobe uma distância
ao longo do plano inclinado de ângulo , a componente vertical do deslocamento (a elevação) é
Explicando: desenha-se o triângulo formado pelo deslocamento
; o cateto vertical =
. Esse
é o ganho de altura entre o ponto inicial e o final.
Passo 4
Calcular o trabalho do peso usando a componente vertical do deslocamento.
- A força peso tem direção vertical para baixo; o deslocamento vertical é para cima de módulo
. O produto escalar entre a força peso e o deslocamento dá
porque a força e o deslocamento vertical têm sentidos opostos (peso para baixo, deslocamento para cima), daí o sinal negativo.
- Substituindo
obtemos
Passo 5
Interpretação e observações práticas (o que é importante lembrar para a prova).
-
Importante: o trabalho do peso entre dois pontos depende apenas da diferença de altura (
); não depende do caminho seguido nem dos detalhes da força aplicada nem do atrito. Isso acontece porque o peso é uma força conservativa. Por isso não precisamos usar o valor de nem a aceleração para calcular o trabalho do peso — só a variação vertical importa. -
Sinal: o resultado é negativo porque a força peso age no sentido oposto ao deslocamento (a caixa sobe). Se a caixa descesse a mesma distância, o trabalho do peso seria positivo
. -
Exemplo rápido para fixar: se
(descida/ascensão vertical), e então , que é o caso óbvio de subir verticalmente por uma distância .