Uma caixa de massa m é empurrada para cima deslocando-se uma distância d, sobre um plano, cuja inclinação é \theta acima da horizontal, por uma força paralela ao plano inclinado. A caixa parte do repouso e sobe com aceleração constante a=0,2 \mathrm{~g}. O coeficiente de atrito cinético entre a caixa e o plano é \mu_{c} e a aceleração da gravidade é g. Determine em função das grandezas ( m, d, \theta, \mu_{c} e g ) que se fizerem necessárias,
o trabalho realizado sobre a caixa pelo seu próprio peso;

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (listei exatamente as grandezas que aparecem):
  • Massa da caixa: m.
  • Deslocamento da caixa ao longo do plano inclinado: d (vetor \vec{d} apontando para cima ao longo do plano).
  • Inclinação do plano em relação à horizontal: \theta.
  • Coeficiente de atrito cinético: \mu_{c}.
  • Aceleração da caixa (subindo, constante): a=0,2\,g.
  • Aceleração da gravidade: g.
  • O enunciado pede: determinar o trabalho realizado sobre a caixa pelo seu próprio peso (força peso), expresso em função das grandezas indicadas.

Passo 2

O que é “trabalho” de uma força? Vou te explicar de forma direta e com calma.
  • Definição (geométrica): o trabalho realizado por uma força constante \vec{F} ao deslocar um corpo por um vetor \vec{\Delta r} é o produto escalar entre a força e o deslocamento:
W = \vec{F}\cdot\vec{\Delta r}.
Isso significa que só importa a componente da força na direção do deslocamento.
  • Interpretação prática: se a força tiver a mesma direção do deslocamento, o trabalho é F\Delta r (positivo se a força empurra na mesma direção do deslocamento). Se a força for exatamente oposta ao deslocamento, o trabalho é -F\Delta r. Se for perpendicular, o trabalho é zero.
  • No caso do peso: a força peso vale \vec{P} = m\vec{g}, apontando verticalmente para baixo, com módulo mg. Vou usar essa regra do produto escalar para calcular o trabalho do peso quando a caixa sobe ao longo do plano.

Passo 3

Relacionar o deslocamento ao longo do plano com a subida vertical.
  • Quando a caixa sobe uma distância d ao longo do plano inclinado de ângulo \theta, a componente vertical do deslocamento (a elevação) é
h = d\sin\theta.
Explicando: desenha-se o triângulo formado pelo deslocamento d; o cateto vertical = d\sin\theta. Esse h é o ganho de altura entre o ponto inicial e o final.

Passo 4

Calcular o trabalho do peso usando a componente vertical do deslocamento.
  • A força peso tem direção vertical para baixo; o deslocamento vertical é para cima de módulo h. O produto escalar entre a força peso \vec{P} e o deslocamento \vec{\Delta r}
W_{\text{peso}} = \vec{P}\cdot\vec{\Delta r} = -mg\,h,
porque a força e o deslocamento vertical têm sentidos opostos (peso para baixo, deslocamento para cima), daí o sinal negativo.
  • Substituindo h = d\sin\theta obtemos
W_{\text{peso}} = -mg\,d\sin\theta.

Passo 5

Interpretação e observações práticas (o que é importante lembrar para a prova).
  • Importante: o trabalho do peso entre dois pontos depende apenas da diferença de altura ( h); não depende do caminho seguido nem dos detalhes da força aplicada nem do atrito. Isso acontece porque o peso é uma força conservativa. Por isso não precisamos usar o valor de \mu_{c} nem a aceleração a para calcular o trabalho do peso — só a variação vertical importa.
  • Sinal: o resultado é negativo porque a força peso age no sentido oposto ao deslocamento (a caixa sobe). Se a caixa descesse a mesma distância, o trabalho do peso seria positivo +mgd\sin\theta.
  • Exemplo rápido para fixar: se \theta=90^\circ (descida/ascensão vertical), \sin\theta=1 e então W_{\text{peso}}=-mgd, que é o caso óbvio de subir verticalmente por uma distância d.

Resposta

W_{\text{peso}}=-mg\,d\sin\theta

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