Uma caixa de massa m é empurrada para cima deslocando-se uma distância d, sobre um plano, cuja inclinação é \theta acima da horizontal, por uma força paralela ao plano inclinado. A caixa parte do repouso e sobe com aceleração constante a=0,2 \mathrm{~g}. O coeficiente de atrito cinético entre a caixa e o plano é \mu_{c} e a aceleração da gravidade é g. Determine em função das grandezas ( m, d, \theta, \mu_{c} e g ) que se fizerem necessárias,
o trabalho realizado sobre a caixa pela força de atrito;

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (tudo que segue são os dados do problema):
  • Massa da caixa: m.
  • Deslocamento ao longo do plano: d.
  • Inclinação do plano em relação à horizontal: \theta.
  • Coeficiente de atrito cinético: \mu_{c}.
  • Aceleração da gravidade: g.
  • A caixa é empurrada por uma força paralela ao plano e sobe com aceleração constante a = 0,2\,g.
  • Pergunta: determinar, em função das grandezas acima, o trabalho realizado sobre a caixa pela força de atrito (isto é, o trabalho W_{\text{atrito}} realizado pela força de atrito quando a caixa desloca-se a distância d para cima do plano).

Passo 2

Conceito que vamos usar: trabalho de uma força constante ao longo de um deslocamento retilíneo é dado pelo produto escalar entre força e deslocamento. Para força constante \vec{F} e deslocamento \vec{d},
W=\vec{F}\cdot\vec{d}=|\vec{F}|\,|\vec{d}|\,\cos\varphi,
onde \varphi é o ângulo entre a direção da força e a direção do deslocamento. Aqui a força de atrito cinético tem direção oposta ao movimento ao longo do plano e pode ser tratada como força constante de módulo f_k (se \mu_c for constante e o normal for constante).

Passo 3

Encontrar a força normal N sobre a caixa (passo necessário porque o atrito cinético depende de N). Decompondo o peso \vec{P}=m\vec{g} em componentes paralela e perpendicular ao plano: a componente perpendicular ao plano é m g\cos\theta. Como não há outras forças com componente perpendicular (a força aplicada é paralela ao plano), a normal é
N = m g \cos\theta.
Aqui expliquei cada termo: m é a massa, g a intensidade da aceleração da gravidade, e \cos\theta surge da projeção do peso na direção perpendicular ao plano.

Passo 4

Fórmula do atrito cinético: o módulo da força de atrito é dado por
f_k = \mu_{c} N.
Substituindo N do passo anterior,
f_k = \mu_{c}\, m g \cos\theta.
Interpretação: \mu_c é adimensional e mede a intensidade relativa do atrito; m g\cos\theta é a força normal, logo o atrito escala com ela.

Passo 5

Direção do atrito e cálculo do trabalho. A caixa sobe ao longo do plano, portanto o atrito aponta para baixo ao longo do plano (direção oposta ao deslocamento). O ângulo entre a força de atrito e o deslocamento é \varphi=\pi (180º), cujo cosseno é \cos\pi=-1. Assim o trabalho da força de atrito ao longo do deslocamento de módulo d vale
W_{\text{atrito}} = f_k\,d\,\cos\pi = -f_k d.
Substituindo f_k do passo anterior:
W_{\text{atrito}} = -\mu_{c}\, m g \cos\theta \; d.
O sinal negativo indica que a força de atrito retira energia cinética (faz trabalho contrário ao movimento).

Passo 6

Comentário didático rápido (verificação): embora a caixa tenha uma aceleração a=0,2\,g, isso afeta a força paralela aplicada \vec{F} necessária para produzir essa aceleração, mas não altera a normal nem o módulo do atrito cinético (pois N depende apenas de m g\cos\theta quando a força aplicada é paralela ao plano). Portanto o trabalho da força de atrito depende apenas de \mu_{c},m,g,\theta e do deslocamento d, e não de a.

Resposta

-\mu_{c}\, m g \cos\theta \; d

Exercícios relacionados