Uma caixa de massa
é empurrada para cima deslocando-se uma distância
, sobre um plano, cuja inclinação é
acima da horizontal, por uma força paralela ao plano inclinado. A caixa parte do repouso e sobe com aceleração constante
. O coeficiente de atrito cinético entre a caixa e o plano é
e a aceleração da gravidade é
. Determine em função das grandezas (
e
) que se fizerem necessárias,
o trabalho realizado sobre a caixa pela força de atrito;
o trabalho realizado sobre a caixa pela força de atrito;
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (tudo que segue são os dados do problema):
- Massa da caixa:
. - Deslocamento ao longo do plano:
. - Inclinação do plano em relação à horizontal:
. - Coeficiente de atrito cinético:
. - Aceleração da gravidade:
. - A caixa é empurrada por uma força paralela ao plano e sobe com aceleração constante
. - Pergunta: determinar, em função das grandezas acima, o trabalho realizado sobre a caixa pela força de atrito (isto é, o trabalho
realizado pela força de atrito quando a caixa desloca-se a distância para cima do plano).
Passo 2
Conceito que vamos usar: trabalho de uma força constante ao longo de um deslocamento retilíneo é dado pelo produto escalar entre força e deslocamento. Para força constante
e deslocamento
,
onde
é o ângulo entre a direção da força e a direção do deslocamento. Aqui a força de atrito cinético tem direção oposta ao movimento ao longo do plano e pode ser tratada como força constante de módulo
(se
for constante e o normal for constante).
Passo 3
Encontrar a força normal
sobre a caixa (passo necessário porque o atrito cinético depende de
). Decompondo o peso
em componentes paralela e perpendicular ao plano: a componente perpendicular ao plano é
. Como não há outras forças com componente perpendicular (a força aplicada é paralela ao plano), a normal é
Aqui expliquei cada termo:
é a massa,
a intensidade da aceleração da gravidade, e
surge da projeção do peso na direção perpendicular ao plano.
Passo 4
Fórmula do atrito cinético: o módulo da força de atrito é dado por
Substituindo
do passo anterior,
Interpretação:
é adimensional e mede a intensidade relativa do atrito;
é a força normal, logo o atrito escala com ela.
Passo 5
Direção do atrito e cálculo do trabalho. A caixa sobe ao longo do plano, portanto o atrito aponta para baixo ao longo do plano (direção oposta ao deslocamento). O ângulo entre a força de atrito e o deslocamento é
(180º), cujo cosseno é
. Assim o trabalho da força de atrito ao longo do deslocamento de módulo
vale
Substituindo
do passo anterior:
O sinal negativo indica que a força de atrito retira energia cinética (faz trabalho contrário ao movimento).
Passo 6
Comentário didático rápido (verificação): embora a caixa tenha uma aceleração
, isso afeta a força paralela aplicada
necessária para produzir essa aceleração, mas não altera a normal nem o módulo do atrito cinético (pois
depende apenas de
quando a força aplicada é paralela ao plano). Portanto o trabalho da força de atrito depende apenas de
e do deslocamento
, e não de
.