Uma caixa sem tampa é obtida cortando-se um quadrado de lado
de cada um dos 4 cantos de um papelão quadrado de dimensões
e em seguida dobrando-o para montar a caixa.
O valor de
que maximiza o voluma da caixa é
O valor de
Passo 1
O enunciado pede para cortar quadrados de lado
dos quatro cantos de um papelão quadrado de lado
e dobrar as abas para formar uma caixa sem tampa. Queremos achar o valor de
que maximiza o volume dessa caixa. O conteúdo é otimização de função via cálculo diferencial.
Passo 2
A altura da caixa é
e as dimensões da base ficam
por
. Logo a função volume é
Como precisamos de base positiva, o domínio é
Passo 3
Derivando
por produto e regra da cadeia, obtemos
As soluções de
são
Passo 4
No intervalo
, temos
, então o sinal de
segue o de
. Isso dá
para
e
para
, caracterizando um máximo em
Resposta
O valor de
que maximiza o volume da caixa é
.