Uma caixa sem tampa é obtida cortando-se um quadrado de lado x de cada um dos 4 cantos de um papelão quadrado de dimensões 2970 times 2970 e em seguida dobrando-o para montar a caixa.
O valor de x que maximiza o voluma da caixa é

Passo 1

O enunciado pede para cortar quadrados de lado x dos quatro cantos de um papelão quadrado de lado 2970 e dobrar as abas para formar uma caixa sem tampa. Queremos achar o valor de x que maximiza o volume dessa caixa. O conteúdo é otimização de função via cálculo diferencial.

Passo 2

A altura da caixa é x e as dimensões da base ficam 2970 - 2x por 2970 - 2x. Logo a função volume é
V(x) = x,(2970 - 2x)^2
Como precisamos de base positiva, o domínio é
0 < x < 29702 = 1485

Passo 3

Derivando V(x) por produto e regra da cadeia, obtemos
V'(x) = (2970 - 2x)^2 + x cdot 2,(2970 - 2x),(-2) = (2970 - 2x),l((2970 - 2x) - 4xr) = (2970 - 2x),(2970 - 6x)
As soluções de V'(x)=0 são
x = 29702 = 1485 e x = 29706 = 495

Passo 4

No intervalo (0,1485), temos 2970-2x>0, então o sinal de V'(x) segue o de 2970-6x. Isso dá V'>0 para x<495 e V'<0 para x>495, caracterizando um máximo em
x = 495

Resposta

O valor de x que maximiza o volume da caixa é 495.

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