Considere as curvas planas dadas por
para certos coeficientes
. Encontre os valores de
para que estas duas curvas se tangenciem nos pontos
e
.
Passo 1
O enunciado dá duas curvas em
: a implícita
e a cúbica
Queremos que elas se toquem (“se tangenciem”) nos pontos
Tangência significa que em cada ponto elas se intersectam (mesmo
) e têm a mesma inclinação
. Para resolver vamos impor:
- nos pontos
a cúbica assume os mesmos valores de da curva implícita; - nos mesmos pontos a derivada da cúbica coincide com a derivada implícita.
Passo 2
Impondo que a cúbica passe por
e
obtemos dois sistemas de valor de
:
Passo 3
Para a inclinação da curva implícita usamos diferenciação implícita em
de onde
Em
e
temos
A derivada da cúbica é
logo em
e
exigimos
Passo 4
Do par de equações
subtraímos a primeira da segunda para eliminar
:
Substituindo em
dá
Passo 5
Agora usamos as duas condições de passagem pelos pontos para achar
. De
substituindo
e
vem
Finalmente a condição em
:
leva, após substituir
, a
Isto dá depois