Considere as curvas planas dadas por
y^2=32 x^5-48 x^4+16 x^3+2784 x^2-4134 x+1375
y=a x^3+b x^2+c x+d
para certos coeficientes a, b, c, d in R. Encontre os valores de a, b, c, d para que estas duas curvas se tangenciem nos pontos P=(12, 2) e
Q=(1,5).

Passo 1

O enunciado dá duas curvas em (x,y): a implícita
y^2=32x^5-48x^4+16x^3+2784x^2-4134x+1375
e a cúbica
y=ax^3+bx^2+cx+d
Queremos que elas se toquem (“se tangenciem”) nos pontos
P=l(tfrac12,2r)e Q=(1,5)
Tangência significa que em cada ponto elas se intersectam (mesmo (x,y)) e têm a mesma inclinação y'. Para resolver vamos impor:
  1. nos pontos P,Q a cúbica assume os mesmos valores de y da curva implícita;
  2. nos mesmos pontos a derivada da cúbica coincide com a derivada implícita.

Passo 2

Impondo que a cúbica passe por P e Q obtemos dois sistemas de valor de y:
al(tfrac12r)^3+bl(tfrac12r)^2+cl(tfrac12r)+d=2,
a+b+c+d=5

Passo 3

Para a inclinação da curva implícita usamos diferenciação implícita em
y^2=F(x), F'(x)=160x^4-192x^3+48x^2+5568x-4134,
de onde
y'=F'(x)2y
Em P e Q temos
F'!l(tfrac12r) =10-24+12+2784-4134=-1352 ;Longrightarrow; y'l(tfrac12r)=-13522cdot2=-338,
F'(1)=160-192+48+5568-4134=1450 ;Longrightarrow; y'(1)=14502cdot5=145
A derivada da cúbica é
y'cúbica=3ax^2+2bx+c, ú
logo em x=tfrac12 e x=1 exigimos
34,a + b + c = -338, 3a + 2b + c = 145

Passo 4

Do par de equações
34 a + b + c = -338, 3a + 2b + c = 145
subtraímos a primeira da segunda para eliminar c:
l(3a-tfrac34ar) + (2b-b) = 145+338 ;Longrightarrow; 94a + b = 483 ;Longrightarrow; b=483-94,a
Substituindo em 34a+b+c=-338
c=-338 - b - 34a =,-338 -l(483-tfrac94ar) - tfrac34a =tfrac32a -821

Passo 5

Agora usamos as duas condições de passagem pelos pontos para achar a,d. De
a + b + c + d = 5
substituindo b e c vem
a + l(483-tfrac94ar) + l(tfrac32a-821r) + d =5 ;Longrightarrow; 14a -338 + d =5 ;Longrightarrow; d=343 - tfrac14a
Finalmente a condição em x=tfrac12:
18a + 14b + 12c + d = 2
leva, após substituir b,c,d, a
a=-820
Isto dá depois
b=483-tfrac94(-820)=2328, c=tfrac32(-820)-821=-2051, d=343-tfrac14(-820)=548

Resposta

a=-820, b=2328, c=-2051, d=548

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