Uma caixa tem 4 cm de comprimento, 5 cm de largura e 6 cm de altura.
Aumentando X centímetro no comprimento e na largura e diminuindo 2 cm da altura, obtém-se uma caixa de mesmo volume. Qual o valor de X?
Aumentando X centímetro no comprimento e na largura e diminuindo 2 cm da altura, obtém-se uma caixa de mesmo volume. Qual o valor de X?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma caixa com dimensões de 4 cm de comprimento, 5 cm de largura e 6 cm de altura. A proposta é aumentar o comprimento e a largura dessa caixa em X centímetros e diminuir a altura em 2 cm, de modo que o volume permaneça o mesmo. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o valor de X.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que o volume de uma caixa (ou paralelepípedo) é calculado multiplicando o comprimento pela largura e pela altura. A fórmula do volume $ V $ é:
Passo 3
Vamos calcular o volume original da caixa com as dimensões dadas:
Passo 4
Agora, vamos expressar as novas dimensões após as alterações:
- Novo comprimento: $ 4 , cm + X $
- Nova largura: $ 5 , cm + X $
- Nova altura: $ 6 , cm - 2 , cm = 4 , cm $
Passo 5
Com essas novas dimensões, o novo volume $ V_{novo} $ será:
Passo 6
Segundo o enunciado, o volume original e o novo volume são iguais. Então, podemos igualar as duas expressões:
Passo 7
Vamos simplificar a equação. Primeiro, dividimos ambos os lados por 4 para facilitar:
Passo 8
Agora, vamos expandir a multiplicação:
Passo 9
Substituímos de volta na equação:
Para resolver essa equação quadrática, trazemos todos os termos para um lado:
Passo 10
Agora, usamos a fórmula quadrática para encontrar o valor de X. A fórmula é:
Onde, na nossa equação $ a = 1 $, $ b = 9 $ e $ c = -10 $.
Calculando o discriminante $ \Delta $:
Passo 11
Substituindo na fórmula:
Isso nos dá duas soluções:
- $ X = \frac{-9 + 11}{2} = \frac{2}{2} = 1 $
- $ X = \frac{-9 - 11}{2} = \frac{-20}{2} = -10 $
Passo 12
Como estamos falando de medidas de comprimento, descartamos a solução negativa. Portanto, o valor de X é 1 cm.
Resposta
O valor de $ X $ é 1 cm.