Uma caixa tem 4 cm de comprimento, 5 cm de largura e 6 cm de altura.
Aumentando X centímetro no comprimento e na largura e diminuindo 2 cm da altura, obtém-se uma caixa de mesmo volume. Qual o valor de X?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma caixa com dimensões de 4 cm de comprimento, 5 cm de largura e 6 cm de altura. A proposta é aumentar o comprimento e a largura dessa caixa em X centímetros e diminuir a altura em 2 cm, de modo que o volume permaneça o mesmo. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o valor de X.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o volume de uma caixa (ou paralelepípedo) é calculado multiplicando o comprimento pela largura e pela altura. A fórmula do volume $ V $ é:
V

Passo 3

Vamos calcular o volume original da caixa com as dimensões dadas:
Voriginal = 4 , cm times 5 , cm times 6 , cm = 120 , cm^3

Passo 4

Agora, vamos expressar as novas dimensões após as alterações:
  • Novo comprimento: $ 4 , cm + X $
  • Nova largura: $ 5 , cm + X $
  • Nova altura: $ 6 , cm - 2 , cm = 4 , cm $

Passo 5

Com essas novas dimensões, o novo volume $ V_{novo} $ será:
Vnovo

Passo 6

Segundo o enunciado, o volume original e o novo volume são iguais. Então, podemos igualar as duas expressões:
(4 + X) times (5 + X) times 4 = 120

Passo 7

Vamos simplificar a equação. Primeiro, dividimos ambos os lados por 4 para facilitar:
(4 + X) times (5 + X) = 1204
(4 + X) times (5 + X) = 30

Passo 8

Agora, vamos expandir a multiplicação:
(4 + X)(5 + X) = 4 times 5 + 4 times X + X times 5 + X times X
= 20 + 4X + 5X + X^2
= X^2 + 9X + 20

Passo 9

Substituímos de volta na equação:
X^2 + 9X + 20 = 30
Para resolver essa equação quadrática, trazemos todos os termos para um lado:
X^2 + 9X + 20 - 30 = 0
X^2 + 9X - 10 = 0

Passo 10

Agora, usamos a fórmula quadrática para encontrar o valor de X. A fórmula é:
X = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde, na nossa equação $ a = 1 $, $ b = 9 $ e $ c = -10 $.
Calculando o discriminante $ \Delta $:
a = 1

Passo 11

Substituindo na fórmula:
X = -9 pm raiz1212 times 1
X = -9 pm 112
Isso nos dá duas soluções:
  1. $ X = \frac{-9 + 11}{2} = \frac{2}{2} = 1 $
  2. $ X = \frac{-9 - 11}{2} = \frac{-20}{2} = -10 $

Passo 12

Como estamos falando de medidas de comprimento, descartamos a solução negativa. Portanto, o valor de X é 1 cm.

Resposta

O valor de $ X $ é 1 cm.

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