Uma caixa vazia de massa 20 t rola sobre um trilho numa velocidade de 5 m / s e colide com uma caixa de massa 65 t que está parada. Assuma a colisão elástica.
a) Quais as velocidades das caixas depois da colisão? (Assuma a colisão elástica). Se a massa do alvo fosse “muito maior” do que a outra massa, no limite, quais as velocidades finais das partículas?
b) Assuma agora que após a colisão as caixas saem juntas. Qual a velocidade delas depois da colisão? Qual a energia cinética do sistema antes e depois dessa colisão? A energia cinética do centro de massa muda depois da colisão? Qual a energia dissipada durante a colisão?

Passo 1

Beleza, a gente tem duas caixinhas deslizando num trilho, e o exercício é sobre colisão (conteúdo: colisão elástica e colisão completamente inelástica).
Dados:
  • Massa da caixa 1: m1=20 t=2times10^4 kg
  • Massa da caixa 2: m2=65 t=6,5times10^4 kg
  • Velocidade inicial: v1i=5 m/s, v2i=0
    O que vamos precisar:
  • Fórmulas de colisão elástica unidimensional
  • Conservação de quantidade de movimento
  • Conservação (ou não) da energia cinética

Passo 2

Vamos resolver a parte (a), colisão elástica.
Teoria rápida: em colisão elástica 1D, valem duas equações:
  1. Conservação de quantidade de movimento:
m1v1i+m2v2i=m1v1f+m2v2f
2) Conservação de energia cinética:
tfrac12m1v1i^2+tfrac12m2v2i^2=tfrac12m1v1f^2+tfrac12m2v2f^2
Ou, mais direto, as fórmulas prontas:
$$v_{1f}=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2};v_{1i},\qquad
v_{2f}=\frac{2m_1}{m_1+m_2};v_{1i}. v1f=m1-m2m1+m2;v1i, v2f=2m1m1+m2;v1iv_{1f}=\frac{2\times10^4 - 6{,}5\times104}{2\times104 + 6{,}5\times10^4};5
=\frac{-4{,}5\times104}{8{,}5\times104};5
=-\frac{4{,}5}{8{,}5};5
\approx -2{,}65\ \mathrm{m/s},$$
v1f=2times10^4 - 6,5times10^42times10^4 + 6,5times10^4;5 =-4,5times10^48,5times10^4;5 =-4,58,5;5 approx -2,65 m/s,

Passo 3

No limite de m2gg m1, a fórmula vira
v1fto -v1i, v2fto 0
Ou seja, a massa menor rebate igualzinho mas de volta, e a massa gigante quase não se mexe.

Passo 4

Agora parte (b): colisão completamente inelástica (as duas saem grudadinhas).
Teoria: conserva só quantidade de movimento, a energia cinética final é menor.
Conservação de momento:
(m1+m2),vf=m1v1i+m2v2i ;Longrightarrow; vf=m1v1im1+m2 =2times10^4cdot58,5times10^4 approx1,176 m/s

Passo 5

Vamos ver as energias:
Energia cinética inicial:
Ki=tfrac12m1v1i^2 =tfrac12cdot2times10^4cdot5^2 =0,5cdot2times10^4cdot25 =2,5times10^5 J
Energia cinética final (ambas juntas):
Kf=tfrac12(m1+m2),vf^2 =tfrac12cdot8,5times10^4cdot(1,176)^2 approx5,88times10^4 J

Passo 6

Energia cinética do centro de massa:
O vCM é o mesmo que vf (pois tudo junto), então
KCM=tfrac12(m1+m2),vCM^2=Kfapprox5,88times10^4 J
Ou seja, o KCM não muda (é sempre theórico constante em colisões internas).
Energia dissipada:
$$\Delta K=K_i-K_f
=2{,}5\times105-5{,}88\times104
\approx1{,}91\times10^5\ \mathrm{J}.$$

Resposta

a) Em colisão elástica:
v1fapprox -2,65 m/s, v2fapprox2,35 m/s
No limite m2gg m1: v1fto -5 m/s,;v2fto0
b) Colisão inelástica (juntas):
vfapprox1,176 m/s
Ki=2,5times10^5 J,; Kfapprox5,88times10^4 J
KCM não muda ( approx5,88times10^4 J).
Energia dissipada: approx1,91times10^5 J,.

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