As caixas de um cereal produzido em uma fábrica, devem ter um conteúdo de 16 onças. Un inspector tomou uma amostra que deu os seguintes pesos em onças: 15, 7 ; 15,7 ; 16,3 ; 15,8 ; 16,1 ; 15,9 ; 16,2 ; 15,9 ; 15,8 ; 15,66. Assumindo que o peso das caixas de cereal segue distribuição Normal, indicar se é razoável que o inspector, usando um coeficiente de confiança de 95 \% pedir que se multe ao fabricante.
\text { R. } \bar{x}=15,906 ; s=0,2229 . \quad I C(\mu, 95 \%)=[15,7678 ; 16,0442] .

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de n=10 caixas com os seguintes pesos (em onças):
\;15,7;\;15,7;\;16,3;\;15,8;\;16,1;\;15,9;\;16,2;\;15,9;\;15,8;\;15,66.
Foi informado também que \bar{x}=15,906 e s=0,2229.
A pergunta implícita é: com nível de confiança de 95\%, é razoável que o inspetor peça multa ao fabricante por desvio do conteúdo nominal de 16 onças? Ou seja, devemos verificar se há evidência contra \mu=16 ao nível de 5\%.

Passo 2

Primeiro vamos entender o que significa trabalhar com uma amostra pequena e variância desconhecida. Quando assumimos que os pesos seguem uma distribuição Normal e não conhecemos o desvio-padrão da população, a estatística adequada para fazer inferência sobre a média populacional \mu usa a distribuição t de Student. A estimativa pontual da média é a média amostral \bar{x} definida por
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde x_i são os valores amostrais e n é o tamanho da amostra. No nosso caso já foi calculado \bar{x}=15,906.

Passo 3

A medida da dispersão amostral é o desvio-padrão amostral s, definido por
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}.
No enunciado já foi dado s=0,2229. Eu calculei mentalmente (passo padrão) as somas dos quadrados das diferenças e confirmei que isso leva ao s informado.

Passo 4

Agora a fórmula do intervalo de confiança de 100(1-\alpha)\% para \mu (quando \sigma é desconhecido) é
\left[\bar{x}-t_{\alpha/2,\,n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}}\;,\;\bar{x}+t_{\alpha/2,\,n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}}\right],
onde t_{\alpha/2,\,n-1} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade tal que a área de cauda superior é \alpha/2. Aqui queremos 95\% de confiança, então \alpha=0,05 e \alpha/2=0,025.

Passo 5

Calculemos os componentes numéricos: n=10 então n-1=9. O erro padrão da média é
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{0,2229}{\sqrt{10}}.
Calculando \sqrt{10}\approx 3,1623, obtemos
\frac{s}{\sqrt{n}}\approx\frac{0,2229}{3,1623}\approx 0,0705.

Passo 6

O quantil crítico para t com 9 graus de liberdade e cauda 0,025 é aproximadamente
t_{0,025,9}\approx 2,262.
Portanto a margem de erro é
t_{0,025,9}\,\frac{s}{\sqrt{n}}\approx 2,262\times 0,0705\approx 0,1596.

Passo 7

Construindo o intervalo de confiança temos
\left[\,\bar{x}-0,1596\;,\;\bar{x}+0,1596\,\right] = \left[\,15,906-0,1596\;,\;15,906+0,1596\,\right],
ou seja
I C(\mu,95\%)\approx[15,7464\;,\;16,0656].
(Obs.: o enunciado apresentou o intervalo [15,7678;16,0442] que foi obtido usando a aproximação normal z em vez de t. Para n=10 o procedimento correto é usar t; em ambos os casos, porém, o valor 16 fica dentro do intervalo.)

Passo 8

Interpretação prática: um intervalo de confiança de 95\% contém os valores de \mu que não podem ser rejeitados por um teste bilateral ao nível de significância 5\%. Como 16 está dentro do intervalo [15,7464;16,0656], não há evidência suficiente para afirmar que a média difere de 16 ao nível de 5\%.

Passo 9

Podemos ver a mesma conclusão pelo teste t. As hipóteses são
H_0:\mu=16\quad\text{vs}\quad H_1:\mu\neq 16.
A estatística de teste é
t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}=\frac{15,906-16}{0,0705}\approx -1,333.
O valor crítico para \alpha=0,05 é \pm 2,262. Como -1,333 está entre -2,262 e 2,262, não rejeitamos H_0. O p-valor bilateral é aproximadamente 0,21, muito maior que 0,05, reforçando que não há evidência para multa.

Resposta

Não é razoável pedir que se multe o fabricante com nível de confiança de 95\%.

Exercícios relacionados