As caixas de um cereal produzido em uma fábrica, devem ter um conteúdo de 16 onças. Un inspector tomou uma amostra que deu os seguintes pesos em onças: 15,7 ; 15,7 ; 16,3 ; 15,8 ; 16,1 ; 15,9 ; 16,2 ; 15,9 ; 15,8 ; 15,66. Assumindo que o peso das caixas de cereal segue distribuição Normal, indicar se é razoável que o inspector, usando um coeficiente de confiança de 95 \% pedir que se multe ao fabricante.
\text { R. } \bar{x}=15,906 ; s=0,2229 . \quad I C(\mu, 95 \%)=[15,7678 ; 16,0442] .
Passo 1
O enunciado dá uma amostra de n=10 caixas com os seguintes pesos (em onças): \;15,7;\;15,7;\;16,3;\;15,8;\;16,1;\;15,9;\;16,2;\;15,9;\;15,8;\;15,66.
Foi informado também que \bar{x}=15,906 e s=0,2229.
A pergunta implícita é: com nível de confiança de 95\%, é razoável que o inspetor peça multa ao fabricante por desvio do conteúdo nominal de 16 onças? Ou seja, devemos verificar se há evidência contra \mu=16 ao nível de 5\%.
Passo 2
Primeiro vamos entender o que significa trabalhar com uma amostra pequena e variância desconhecida. Quando assumimos que os pesos seguem uma distribuição Normal e não conhecemos o desvio-padrão da população, a estatística adequada para fazer inferência sobre a média populacional \mu usa a distribuição t de Student. A estimativa pontual da média é a média amostral \bar{x} definida por
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde x_i são os valores amostrais e n é o tamanho da amostra. No nosso caso já foi calculado \bar{x}=15,906.
Passo 3
A medida da dispersão amostral é o desvio-padrão amostral s, definido por
No enunciado já foi dado s=0,2229. Eu calculei mentalmente (passo padrão) as somas dos quadrados das diferenças e confirmei que isso leva ao s informado.
Passo 4
Agora a fórmula do intervalo de confiança de 100(1-\alpha)\% para \mu (quando \sigma é desconhecido) é
onde t_{\alpha/2,\,n-1} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade tal que a área de cauda superior é \alpha/2. Aqui queremos 95\% de confiança, então \alpha=0,05 e \alpha/2=0,025.
Passo 5
Calculemos os componentes numéricos: n=10 então n-1=9. O erro padrão da média é
(Obs.: o enunciado apresentou o intervalo [15,7678;16,0442] que foi obtido usando a aproximação normal z em vez de t. Para n=10 o procedimento correto é usar t; em ambos os casos, porém, o valor 16 fica dentro do intervalo.)
Passo 8
Interpretação prática: um intervalo de confiança de 95\% contém os valores de \mu que não podem ser rejeitados por um teste bilateral ao nível de significância 5\%. Como 16 está dentro do intervalo [15,7464;16,0656], não há evidência suficiente para afirmar que a média difere de 16 ao nível de 5\%.
Passo 9
Podemos ver a mesma conclusão pelo teste t. As hipóteses são
O valor crítico para \alpha=0,05 é \pm 2,262. Como -1,333 está entre -2,262 e 2,262, não rejeitamos H_0. O p-valor bilateral é aproximadamente 0,21, muito maior que 0,05, reforçando que não há evidência para multa.
Resposta
Não é razoável pedir que se multe o fabricante com nível de confiança de 95\%.