A dosagem de certa substância no sangue segue distribuição Normal com média \mu e desvio padrão 15 \mathrm{mg} / \mathrm{l}. Se uma amostra de tamanho 25 for coletada, determine:
(a) A probabilidade de |\bar{X}-\mu| ser inferior a 5 .
(b) O intervalo para \mu com confiaça 98 \%, se temos \bar{x}=98 \mathrm{mg} / \mathrm{l}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz as seguintes perguntas:
  • Dados fornecidos:
    • A dosagem segue distribuição Normal com média \mu (desconhecida) e desvio padrão populacional \sigma = 15\\ \mathrm{mg}/\mathrm{l}.
    • Tamanho da amostra n = 25.
    • Para a parte (b) temos a média amostral observada \bar{x} = 98\\ \mathrm{mg}/\mathrm{l}.
  • Perguntas:
    • (a) Calcular a probabilidade de |\bar{X}-\mu| ser inferior a 5, isto é, P\bigl(|\bar{X}-\mu|<5\bigr).
    • (b) Determinar o intervalo de confiança para \mu com confiança de 98\%, usando \bar{x}=98\\ \mathrm{mg}/\mathrm{l}.

Passo 2

Entendendo o que é \bar{X} e qual é a sua distribuição (aula rápida e necessária):
  • Quando a população é Normal com média \mu e desvio padrão \sigma, a média amostral \bar{X} de uma amostra aleatória de tamanho n também é Normal com média \mu e desvio padrão \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}.
    • Em símbolos: \bar{X}\sim N\!\left(\mu,\\ \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right).
    • Aqui \sigma é o desvio padrão da população, n é o tamanho da amostra, e \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} é chamado de erro padrão da média (standard error), que mede a dispersão da média amostral em torno de \mu.
  • No nosso caso:
    • \sigma = 15.
    • n = 25.
    • Então o erro padrão é
    \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac{15}{\sqrt{25}} = \dfrac{15}{5} = 3.

Passo 3

Resolver (a): transformar a probabilidade em termos da Normal padrão (padronização) e usar a simetria.
  • Queremos P\bigl(|\bar{X}-\mu|<5\bigr)=P\bigl(-5<\bar{X}-\mu<5\bigr).
  • Dividimos tudo pelo erro padrão \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = 3 para obter uma probabilidade envolvendo a Normal padrão Z\sim N(0,1): P\left(\frac{-5}{3}<\frac{\bar{X}-\mu}{3}<\frac{5}{3}\right)=P\left(-\frac{5}{3}<Z<\frac{5}{3}\right).
  • Usando a função de distribuição acumulada da Normal padrão \Phi(\cdot) e a simetria da Normal, obtemos P\left(-\tfrac{5}{3}<Z<\tfrac{5}{3}\right)=\Phi\!\left(\tfrac{5}{3}\right)-\Phi\!\left(-\tfrac{5}{3}\right) =2\Phi\!\left(\tfrac{5}{3}\right)-1.

Passo 4

Calcular numericamente (a):
  • Primeiro calcule o valor crítico: \tfrac{5}{3}\approx 1,666\overline{6}.
  • Usando tabela da Normal padrão (ou calculadora), \Phi(1,67)\approx 0,9525. Aproximando para o valor em 1,666\ldots obtemos aproximadamente \Phi\!\left(\tfrac{5}{3}\right)\approx 0,9525.
  • Portanto P\bigl(|\bar{X}-\mu|<5\bigr)\approx 2\cdot 0,9525 - 1 = 0,9050.
  • Interpretação curta: com essas condições, a média amostral tem probabilidade aproximadamente 0,905 (ou 90,5\%) de ficar a menos de 5\\ \mathrm{mg}/\mathrm{l} da verdadeira média \mu. Vai vendo: já é um número alto — bom sinal!

Passo 5

Resolver (b): construir o intervalo de confiança de 98\% para \mu (aula prática sobre IC quando \sigma é conhecido).
  • Quando a variância populacional é conhecida ( \sigma conhecido), o intervalo de confiança para \mu com nível de confiança 1-\alpha é dado por \bar{x}\pm z_{1-\alpha/2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},onde:
    • \bar{x} é a média amostral observada,
    • z_{1-\alpha/2} é o quantil da Normal padrão tal que P(Z\le z_{1-\alpha/2})=1-\alpha/2,
    • \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} é o erro padrão (já calculado).
  • No nosso caso, o nível de confiança é 98\%, logo \alpha=0,02 e 1-\alpha/2=0,99. O quantil correspondente é aproximadamente z_{0,99}\approx 2,3263.
  • O erro padrão já é \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=3. Então a margem de erro é E = z_{0,99}\cdot 3 \approx 2,3263\cdot 3 \approx 6,9789\approx 6,98.
  • Finalmente o intervalo de confiança é \bar{x}\pm E = 98 \pm 6,98,ou seja \bigl[98-6,98,\\\ 98+6,98\bigr] = \bigl[91,02,\\\ 104,98\bigr].
  • Interpretação curta: com 98\% de confiança, o verdadeiro \mu está entre 91,02 e 104,98\\ \mathrm{mg}/\mathrm{l}. Lembre-se: isso não diz que haja 98\% de chance de \mu estar no intervalo em um caso fixo — significa que o procedimento constrói intervalos que, em longo prazo, cobrirão \mu em 98\% das amostras.

Resposta

(a) 0,9050
(b) [91,02,\\\ 104,98]

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