A dosagem de certa substância no sangue segue distribuição Normal com média
e desvio padrão
. Se uma amostra de tamanho 25 for coletada, determine:
(a) A probabilidade de
ser inferior a 5 .
(b) O intervalo para
com confiaça
, se temos
.
(a) A probabilidade de
(b) O intervalo para
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz as seguintes perguntas:
-
Dados fornecidos:
- A dosagem segue distribuição Normal com média
(desconhecida) e desvio padrão populacional . - Tamanho da amostra
. - Para a parte (b) temos a média amostral observada
.
- A dosagem segue distribuição Normal com média
-
Perguntas:
- (a) Calcular a probabilidade de
ser inferior a , isto é, . - (b) Determinar o intervalo de confiança para
com confiança de , usando .
- (a) Calcular a probabilidade de
Passo 2
Entendendo o que é
e qual é a sua distribuição (aula rápida e necessária):
-
Quando a população é Normal com média
e desvio padrão , a média amostral de uma amostra aleatória de tamanho também é Normal com média e desvio padrão . - Em símbolos:
. - Aqui
é o desvio padrão da população, é o tamanho da amostra, e é chamado de erro padrão da média (standard error), que mede a dispersão da média amostral em torno de .
- Em símbolos:
-
No nosso caso:
-
. -
. - Então o erro padrão é
-
Passo 3
Resolver (a): transformar a probabilidade em termos da Normal padrão (padronização) e usar a simetria.
- Queremos
- Dividimos tudo pelo erro padrão
para obter uma probabilidade envolvendo a Normal padrão : - Usando a função de distribuição acumulada da Normal padrão
e a simetria da Normal, obtemos
Passo 4
Calcular numericamente (a):
- Primeiro calcule o valor crítico:
- Usando tabela da Normal padrão (ou calculadora),
. Aproximando para o valor em obtemos aproximadamente . - Portanto
- Interpretação curta: com essas condições, a média amostral tem probabilidade aproximadamente
(ou ) de ficar a menos de da verdadeira média . Vai vendo: já é um número alto — bom sinal!
Passo 5
Resolver (b): construir o intervalo de confiança de
para
(aula prática sobre IC quando
é conhecido).
- Quando a variância populacional é conhecida (
conhecido), o intervalo de confiança para com nível de confiança é dado por onde: -
é a média amostral observada, -
é o quantil da Normal padrão tal que , -
é o erro padrão (já calculado).
-
- No nosso caso, o nível de confiança é
, logo e . O quantil correspondente é aproximadamente - O erro padrão já é
. Então a margem de erro é - Finalmente o intervalo de confiança é
ou seja - Interpretação curta: com
de confiança, o verdadeiro está entre e . Lembre-se: isso não diz que haja de chance de estar no intervalo em um caso fixo — significa que o procedimento constrói intervalos que, em longo prazo, cobrirão em das amostras.
Resposta
(a)
(b)
(b)