Amostra de 20 dados: soma = 190 e soma dos quadrados = 1811,1.
(a) Estimativas pontuais da média e variância.
(b) Intervalo de confiança 99,8% para média e 90% para desvio padrão.
(c) Teste H0:
contra H1:
ao nível
.
(d) Teste H0:
contra H1:
ao nível
.
(e) Supondo
, determinar tamanho amostral para erro máximo 0,3 com confiança
.
(a) Estimativas pontuais da média e variância.
(b) Intervalo de confiança 99,8% para média e 90% para desvio padrão.
(c) Teste H0:
(d) Teste H0:
(e) Supondo
Passo 1
Dados fornecidos:
O que o enunciado pede (cada item):
(a) estimativas pontuais da média e da variância;
(b) intervalo de confiança de para a média e intervalo de confiança de
para o desvio padrão;
(c) teste contra
ao nível
;
(d) teste contra
ao nível
;
(e) supondo , calcular o tamanho amostral necessário para erro máximo
com confiança
.
(a) estimativas pontuais da média e da variância;
(b) intervalo de confiança de
(c) teste
(d) teste
(e) supondo
Passo 2
Estimativas pontuais — conceitos e fórmulas (aula rápida):
- A estimativa pontual da média populacional
é a média amostral . Fórmula:
onde
é a média da amostra,
é o tamanho da amostra e
é a soma observada dos dados.
- A estimativa pontual não-viesada da variância populacional
é a variância amostral dada por
Uma fórmula prática (quando temos
e
) é
Explico por quê:
. O divisor
corrige o viés da estimativa (é o famoso “grau de liberdade”).
Agora aplicamos com os dados.
Passo 3
Cálculo da média e da variância amostral (a):
Calculemos :
Calculemos
Calculemos
usando a fórmula prática:
Primeiro
. Então
Agora
E o desvio padrão amostral
Passo 4
Intervalo de confiança para a média (99{,}8%) — teoria e fórmula (b, primeira parte):
Quando a variância populacional é desconhecida e a amostra é pequena, usa-se a distribuição de Student. O intervalo de confiança bilateral para
é
Quando a variância populacional é desconhecida e a amostra é pequena, usa-se a distribuição
onde
é o quantil da distribuição
com
graus de liberdade e nível
,
é o desvio amostral e
corrige o erro padrão da média.
Aplicando: confiança
. Consultando tabela
para
obtemos (tabela/consultas) aproximadamente
O erro padrão da média é
Margem de erro:
Intervalo:
ou seja
Passo 5
Intervalo de confiança para o desvio padrão (90%) — teoria e fórmula (b, segunda parte):
Para (variância populacional), o intervalo de confiança bilateral usa a distribuição qui-quadrado:
Para
onde
é o quantil
da distribuição
com
graus de liberdade. Para o desvio padrão
, tiramos raiz quadrada nos limites.
Aplicando: confiança
. Com
, consultando tabela qui-quadrado obtemos (valores tabelados):
Já vimos que
. Então intervalo para a variância:
Agora os limites para o desvio padrão (raízes):
Passo 6
Teste para a média (c) — teoria:
Queremos testar
Queremos testar
ao nível
. Como
é desconhecida, usamos o teste
com estatística
com
graus de liberdade. Rejeitamos
bilateralmente se
.
Passo 7
Cálculo do
observado e decisão (c):
Já temos ,
,
. Então
Já temos
Para
. Consultando tabela
com
encontramos aproximadamente
Comparação:
, logo rejeitamos
ao nível
.
Podemos também aproximar o p-valor bilateral: entre os níveis conhecidos, obtemos aproximadamente
(ou seja, cerca de
), que é menor que
, confirmando a rejeição.
Passo 8
Teste para o desvio padrão (d) — teoria:
Queremos testar
Queremos testar
ao nível
. Usa-se a estatística qui-quadrado
com
graus de liberdade. Rejeita-se bilateralmente se
ou
.
Passo 9
Cálculo da estatística e decisão (d):
Temos e
. Então
Temos
Para
. Com
da tabela qui-quadrado:
Rejeição bilateral ocorre se
ou
. Como
está entre esses valores, não rejeitamos
ao nível
. Ou seja, não há evidência suficiente para concluir que
.
Uma estimativa do p-valor bilateral: a probabilidade de observar um valor tão extremo ou mais sob
é cerca de
(maior que
), consistente com a não rejeição.
Passo 10
Tamanho amostral necessário (e) — teoria e fórmula:
Quando assumimos conhecido e queremos um erro máximo
para a estimativa da média
com nível de confiança
, a fórmula para
é
Quando assumimos
onde
é o quantil da distribuição normal padrão.
Aplicando: confiança
. Consultando tabela normal padrão:
Com
e
:
Como
deve ser inteiro e deve garantir o erro máximo, arredondamos para cima:
Resposta
(a)
(b) IC para
:
. \n IC
para
:
.
(c) ,
. Rejeitamos
ao nível
(p-valor
).
(d) ;
. Não rejeitamos
ao nível
(p-valor
).
(e)
(b) IC
(c)
(d)
(e)