Amostra de 20 dados: soma = 190 e soma dos quadrados = 1811,1.
(a) Estimativas pontuais da média e variância.
(b) Intervalo de confiança 99,8% para média e 90% para desvio padrão.
(c) Teste H0: \mu=9,2 contra H1: \mu \neq 9,2 ao nível \alpha=4 \%.
(d) Teste H0: \sigma=0,8 contra H1: \sigma \neq 0,8 ao nível \alpha=5 \%.
(e) Supondo \sigma=0,8, determinar tamanho amostral para erro máximo 0,3 com confiança 93 \%.

Passo 1

Dados fornecidos:
n=20,\quad \sum_{i=1}^{20} x_i = 190,\quad \sum_{i=1}^{20} x_i^2 = 1811{,}1.
O que o enunciado pede (cada item):
(a) estimativas pontuais da média e da variância;
(b) intervalo de confiança de 99{,}8\% para a média e intervalo de confiança de 90\% para o desvio padrão;
(c) teste H_0:\mu=9{,}2 contra H_1:\mu\neq9{,}2 ao nível \alpha=4\%;
(d) teste H_0:\sigma=0{,}8 contra H_1:\sigma\neq0{,}8 ao nível \alpha=5\%;
(e) supondo \sigma=0{,}8, calcular o tamanho amostral necessário para erro máximo E=0{,}3 com confiança 93\%.

Passo 2

Estimativas pontuais — conceitos e fórmulas (aula rápida):
  • A estimativa pontual da média populacional \mu é a média amostral \bar{x}. Fórmula:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i,
onde \bar{x} é a média da amostra, n é o tamanho da amostra e \sum x_i é a soma observada dos dados.
  • A estimativa pontual não-viesada da variância populacional \sigma^2 é a variância amostral s^2 dada por
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2.
Uma fórmula prática (quando temos \sum x_i e \sum x_i^2) é
s^2=\frac{\sum x_i^2 - n\bar{x}^2}{n-1}.
Explico por quê: \sum (x_i-\bar{x})^2 = \sum x_i^2 - n\bar{x}^2. O divisor n-1 corrige o viés da estimativa (é o famoso “grau de liberdade”).
Agora aplicamos com os dados.

Passo 3

Cálculo da média e da variância amostral (a):
Calculemos \bar{x}:
\bar{x}=\frac{190}{20}=9{,}5.
Calculemos s^2 usando a fórmula prática:
\sum x_i^2 - n\bar{x}^2 = 1811{,}1 - 20\cdot(9{,}5)^2 .
Primeiro (9{,}5)^2 = 90{,}25. Então
20\cdot 90{,}25 = 1805,
\sum x_i^2 - n\bar{x}^2 = 1811{,}1 - 1805 = 6{,}1.
Agora
s^2=\frac{6{,}1}{n-1}=\frac{6{,}1}{19}=0{,}3210526316\ldots \approx 0{,}32105.
E o desvio padrão amostral
s=\sqrt{s^2}\approx\sqrt{0{,}32105263}\approx 0{,}5667.

Passo 4

Intervalo de confiança para a média (99{,}8%) — teoria e fórmula (b, primeira parte):
Quando a variância populacional é desconhecida e a amostra é pequena, usa-se a distribuição t de Student. O intervalo de confiança bilateral para \mu é
\bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,\;n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}},
onde t_{1-\alpha/2,\;n-1} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade e nível 1-\alpha/2, s é o desvio amostral e \sqrt{n} corrige o erro padrão da média.
Aplicando: confiança 99{,}8\%\Rightarrow \alpha=0{,}002\Rightarrow \alpha/2=0{,}001. Consultando tabela t para df=19 obtemos (tabela/consultas) aproximadamente
t_{0{,}999,\;19}\approx 3{,}579.
O erro padrão da média é
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{0{,}5667}{\sqrt{20}}=\frac{0{,}5667}{4{,}4721}\approx 0{,}12670.
Margem de erro:
ME = 3{,}579\cdot 0{,}12670 \approx 0{,}4536.
Intervalo:
\bar{x}\pm ME \Rightarrow 9{,}5 \pm 0{,}4536,
ou seja
(9{,}5-0{,}4536,\;9{,}5+0{,}4536)=(9{,}0464,\;9{,}9536).

Passo 5

Intervalo de confiança para o desvio padrão (90%) — teoria e fórmula (b, segunda parte):
Para \sigma^2 (variância populacional), o intervalo de confiança bilateral usa a distribuição qui-quadrado:
\left(\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,\;n-1}},\;\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2,\;n-1}}\right),
onde \chi^2_{p,\;df} é o quantil p da distribuição \chi^2 com df graus de liberdade. Para o desvio padrão \sigma, tiramos raiz quadrada nos limites.
Aplicando: confiança 90\%\Rightarrow \alpha=0{,}10\Rightarrow \alpha/2=0{,}05. Com df=n-1=19, consultando tabela qui-quadrado obtemos (valores tabelados):
\chi^2_{0{,}95,\;19}\approx 30{,}144,\qquad \chi^2_{0{,}05,\;19}\approx 10{,}117.
Já vimos que (n-1)s^2 = 6{,}1. Então intervalo para a variância:
\left(\frac{6{,}1}{30{,}144},\;\frac{6{,}1}{10{,}117}\right) \approx (0{,}20246,\;0{,}60302).
Agora os limites para o desvio padrão (raízes):
\left(\sqrt{0{,}20246},\;\sqrt{0{,}60302}\right)\approx (0{,}4500,\;0{,}7766).

Passo 6

Teste para a média (c) — teoria:
Queremos testar
H_0:\mu=9{,}2\quad\text{vs}\quad H_1:\mu\neq 9{,}2
ao nível \alpha=0{,}04. Como \sigma é desconhecida, usamos o teste t com estatística
t_{obs}=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}},
com n-1 graus de liberdade. Rejeitamos H_0 bilateralmente se |t_{obs}|>t_{1-\alpha/2,\;n-1}.

Passo 7

Cálculo do t observado e decisão (c):
Já temos \bar{x}=9{,}5, s\approx0{,}5667, s/\sqrt{n}\approx0{,}12670. Então
t_{obs}=\frac{9{,}5-9{,}2}{0{,}12670}=\frac{0{,}3}{0{,}12670}\approx 2{,}3669.
Para \alpha=0{,}04\Rightarrow \alpha/2=0{,}02. Consultando tabela t com df=19 encontramos aproximadamente
t_{0{,}98,\;19}\approx 2{,}242\\ \\ (\text{valor tabelado/interpolado}).
Comparação: |t_{obs}|=2{,}3669>2{,}242, logo rejeitamos H_0 ao nível 4\%.
Podemos também aproximar o p-valor bilateral: entre os níveis conhecidos, obtemos aproximadamente p\text{-valor}\approx 0{,}032 (ou seja, cerca de 3{,}2\%), que é menor que 4\%, confirmando a rejeição.

Passo 8

Teste para o desvio padrão (d) — teoria:
Queremos testar
H_0:\sigma=0{,}8\quad\text{vs}\quad H_1:\sigma\neq 0{,}8
ao nível \alpha=0{,}05. Usa-se a estatística qui-quadrado
\chi^2_{obs}=\frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2},
com n-1 graus de liberdade. Rejeita-se bilateralmente se \chi^2_{obs}<\chi^2_{\alpha/2,\;n-1} ou \chi^2_{obs}>\chi^2_{1-\alpha/2,\;n-1}.

Passo 9

Cálculo da estatística e decisão (d):
Temos (n-1)s^2=6{,}1 e \sigma_0^2=(0{,}8)^2=0{,}64. Então
\chi^2_{obs}=\frac{6{,}1}{0{,}64}=9{,}53125.
Para \alpha=0{,}05\Rightarrow \alpha/2=0{,}025. Com df=19 da tabela qui-quadrado:
\chi^2_{0{,}025,\;19}\approx 8{,}907,\qquad \chi^2_{0{,}975,\;19}\approx 32{,}852.
Rejeição bilateral ocorre se \chi^2_{obs}<8{,}907 ou \chi^2_{obs}>32{,}852. Como 9{,}53125 está entre esses valores, não rejeitamos H_0 ao nível 5\%. Ou seja, não há evidência suficiente para concluir que \sigma\neq 0{,}8.
Uma estimativa do p-valor bilateral: a probabilidade de observar um valor tão extremo ou mais sob H_0 é cerca de 6\% (maior que 5\%), consistente com a não rejeição.

Passo 10

Tamanho amostral necessário (e) — teoria e fórmula:
Quando assumimos \sigma conhecido e queremos um erro máximo E para a estimativa da média \bar{x} com nível de confiança 1-\alpha, a fórmula para n é
n=\left(\frac{z_{1-\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2,
onde z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão.
Aplicando: confiança 93\%\Rightarrow \alpha=0{,}07\Rightarrow \alpha/2=0{,}035. Consultando tabela normal padrão:
z_{1-0{,}035}=z_{0{,}965}\approx 1{,}812\\ (\text{valor tabelado/interpolado}).
Com \sigma=0{,}8 e E=0{,}3:
n=\left(\frac{1{,}812\cdot 0{,}8}{0{,}3}\right)^2=\left(\frac{1{,}4496}{0{,}3}\right)^2=(4{,}832)^2\approx 23{,}34.
Como n deve ser inteiro e deve garantir o erro máximo, arredondamos para cima:
n=24.

Resposta

(a) \bar{x}=9{,}5,\quad s^2\approx 0{,}32105
(b) IC 99{,}8\% para \mu: (9{,}0464,\;9{,}9536). \n IC 90\% para \sigma: (0{,}4500,\;0{,}7766).
(c) t_{obs}\approx 2{,}3669, t_{0{,}98,19}\approx 2{,}242. Rejeitamos H_0 ao nível \alpha=4\% (p-valor \approx 0{,}032).
(d) \chi^2_{obs}\approx 9{,}5313; \chi^2_{0{,}025,19}\approx 8{,}907,\; \chi^2_{0{,}975,19}\approx 32{,}852. Não rejeitamos H_0 ao nível \alpha=5\% (p-valor \approx 0{,}06).
(e) n=\left(\dfrac{z_{0{,}965}\cdot 0{,}8}{0{,}3}\right)^2\approx 23{,}34\Rightarrow n=24.

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