CALC Uma criança está empurrando um gira-gira. O deslocamento angular do gira-gira varia com o tempo de acordo com a relação
, onde
e
. (a) Calcule a velocidade angular do gira-gira em função do tempo. (b) Qual é o valor da velocidade angular inicial? (c) Calcule o valor da velocidade angular instantânea
para
e a velocidade angular média
para o intervalo de
até
. Mostre que
não é igual à média das velocidades angulares instantâneas para
e explique a razão dessa diferença.
Passo 1
O enunciado dá a posição angular do gira‑gira como
com os valores numéricos fornecidos:
-
, -
.
O que se pede:
(a) calcular a velocidade angular em função do tempo ;
(b) encontrar o valor da velocidade angular inicial ;
(c) calcular a velocidade angular instantânea em
e a velocidade angular média
no intervalo
até
. Além disso, mostrar que
não é igual à média de
e
e explicar o porquê.
(a) calcular a velocidade angular em função do tempo
(b) encontrar o valor da velocidade angular inicial
(c) calcular a velocidade angular instantânea
Passo 2
Entendendo o que é velocidade angular instantânea: é a taxa de variação da posição angular em relação ao tempo, isto é, a derivada de
em relação a
. Regra prática (regra da potência): se
, então
. Aplicando termo a termo:
Portanto a velocidade angular instantânea é
Substituindo os valores numéricos de
e
obtém‑se a forma prática
pois
.
Passo 3
Velocidade angular inicial: basta avaliar
em
. Usando a expressão encontrada,
Interpretação: a inclinação da curva
no instante inicial é
.
Passo 4
Velocidade angular instantânea em
: usar
.
Calculemos passo a passo:
Calculemos passo a passo:
Logo
Passo 5
Velocidade angular média no intervalo
: por definição, a velocidade angular média é o deslocamento angular total dividido pelo tempo total:
Calculando
:
Passo a passo:
Logo
Como
, temos
Observação alternativa (via integral): como
,
e, com
, obtemos
, confirmando o cálculo acima.
Passo 6
Mostrar que
não é igual à média das velocidades instantâneas nos extremos:
A média aritmética das velocidades em e
é
A média aritmética das velocidades em
Comparando com
, vemos que
Explicação clara e simples: a média temporal correta é a integral da velocidade dividida pelo tempo (o que usamos para
). A média dos extremos é só a média aritmética de dois valores; ela coincide com a média temporal apenas se
variar de forma linear em
. Aqui
é uma função quadrática de
(não linear), então a média aritmética dos extremos dá um valor diferente. Matemática rápida: para um intervalo de duração
,
a diferença é
, que só é zero se
(ou
). Intuitivamente: a aceleração angular não é constante aqui (a aceleração
cresce com
), então a velocidade aumenta mais perto do final do intervalo — a média aritmética dos extremos “superestima” a média efetiva quando a velocidade cresce de forma côncava para cima nesse caso.
Passo 7
Resumo final rápido e um empurrãozinho de ânimo: já temos a fórmula geral
, os valores numéricos pedidos e a explicação por que a média simples dos extremos não bate com a média temporal. Vai com calma na prova — aplica derivada para o instante e deslocamento/tempo para a média; e se aparecer uma função polinomial, faça como aqui: derive termo a termo e integre termo a termo.
Resposta
(a)
(b)
(c)