CALC Uma criança está empurrando um gira-gira. O deslocamento angular do gira-gira varia com o tempo de acordo com a relação \theta(t)=\gamma t+\beta t^{3}, onde \gamma=0,400 \mathrm{rad} / \mathrm{s} e \beta= 0,0120 \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{3}. (a) Calcule a velocidade angular do gira-gira em função do tempo. (b) Qual é o valor da velocidade angular inicial? (c) Calcule o valor da velocidade angular instantânea \omega_{z} para t=5,00 \mathrm{~s} e a velocidade angular média \omega_{\mathrm{m} z} para o intervalo de t=0 até t=5,00 \mathrm{~s}. Mostre que \omega_{\mathrm{mz}} não é igual à média das velocidades angulares instantâneas para t=0 \mathrm{e} t=5,0 \mathrm{~s} e explique a razão dessa diferença.

Passo 1

O enunciado dá a posição angular do gira‑gira como
\theta(t)=\gamma t+\beta t^{3},
com os valores numéricos fornecidos:
  • \gamma=0,400\\ \mathrm{rad/s},
  • \beta=0,0120\\ \mathrm{rad/s^{3}}.
O que se pede:
(a) calcular a velocidade angular em função do tempo \omega(t);
(b) encontrar o valor da velocidade angular inicial \omega(0);
(c) calcular a velocidade angular instantânea \omega_{z} em t=5{,}00\\ \mathrm{s} e a velocidade angular média \omega_{\mathrm{mz}} no intervalo t=0 até t=5{,}00\\ \mathrm{s}. Além disso, mostrar que \omega_{\mathrm{mz}} não é igual à média de \omega(0) e \omega(5{,}0) e explicar o porquê.

Passo 2

Entendendo o que é velocidade angular instantânea: é a taxa de variação da posição angular em relação ao tempo, isto é, a derivada de \theta(t) em relação a t. Regra prática (regra da potência): se f(t)=t^{n}, então f'(t)=n t^{n-1}. Aplicando termo a termo:
\frac{d}{dt}\big(\gamma t\big)=\gamma, \qquad \frac{d}{dt}\big(\beta t^{3}\big)=3\beta t^{2}.
Portanto a velocidade angular instantânea é
\omega(t)=\frac{d\theta}{dt}=\gamma+3\beta t^{2}.
Substituindo os valores numéricos de \gamma e \beta obtém‑se a forma prática
\omega(t)=0,400+0,0360\,t^{2}\quad\mathrm{rad/s},
pois 3\beta=3\times0,0120=0,0360.

Passo 3

Velocidade angular inicial: basta avaliar \omega(t) em t=0. Usando a expressão encontrada,
\omega(0)=\gamma+3\beta\cdot0^{2}=\gamma=0,400\\ \mathrm{rad/s}.
Interpretação: a inclinação da curva \theta(t) no instante inicial é \gamma.

Passo 4

Velocidade angular instantânea em t=5{,}00\\ \mathrm{s}: usar \omega(t)=\gamma+3\beta t^{2}.
Calculemos passo a passo:
t^{2}=5{,}00^{2}=25,
3\beta t^{2}=3\times0,0120\times25=3\times0,300=0,900\\ \mathrm{rad/s}.
Logo
\omega(5{,}00)=\gamma+3\beta(5{,}00)^{2}=0,400+0,900=1,300\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Velocidade angular média no intervalo 0\le t\le5{,}00\\ \mathrm{s}: por definição, a velocidade angular média é o deslocamento angular total dividido pelo tempo total:
\omega_{\mathrm{mz}}=\frac{\theta(5{,}00)-\theta(0)}{5{,}00-0}.
Calculando \theta(5{,}00):
\theta(5{,}00)=\gamma\cdot5{,}00+\beta\cdot(5{,}00)^{3}.
Passo a passo:
\gamma\cdot5{,}00=0,400\times5{,}00=2,000\\ \mathrm{rad},
(5{,}00)^{3}=125,\qquad \beta\cdot125=0,0120\times125=1,500\\ \mathrm{rad}.
Logo
\theta(5{,}00)=2,000+1,500=3,500\\ \mathrm{rad}.
Como \theta(0)=0, temos
\omega_{\mathrm{mz}}=\frac{3,500-0}{5{,}00}=0,700\\ \mathrm{rad/s}.
Observação alternativa (via integral): como \omega(t)=\gamma+3\beta t^{2},
\omega_{\mathrm{mz}}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\omega(t)\,dt =\frac{1}{T}\Big[\gamma T+\beta T^{3}\Big]=\gamma+\beta T^{2},
e, com T=5{,}00, obtemos \omega_{\mathrm{mz}}=0,400+0,0120\times25=0,700\\ \mathrm{rad/s}, confirmando o cálculo acima.

Passo 6

Mostrar que \omega_{\mathrm{mz}} não é igual à média das velocidades instantâneas nos extremos:
A média aritmética das velocidades em t=0 e t=5{,}00 é
\frac{\omega(0)+\omega(5{,}00)}{2}=\frac{0,400+1,300}{2}=0,850\\ \mathrm{rad/s}.
Comparando com \omega_{\mathrm{mz}}=0,700\\ \mathrm{rad/s}, vemos que
0,850\neq0,700.
Explicação clara e simples: a média temporal correta é a integral da velocidade dividida pelo tempo (o que usamos para \omega_{\mathrm{mz}}). A média dos extremos é só a média aritmética de dois valores; ela coincide com a média temporal apenas se \omega(t) variar de forma linear em t. Aqui \omega(t)=\gamma+3\beta t^{2} é uma função quadrática de t (não linear), então a média aritmética dos extremos dá um valor diferente. Matemática rápida: para um intervalo de duração T,
\omega_{\mathrm{mz}}=\gamma+\beta T^{2}, \qquad \frac{\omega(0)+\omega(T)}{2}=\gamma+\tfrac{3}{2}\beta T^{2},
a diferença é \tfrac{1}{2}\beta T^{2}, que só é zero se \beta=0 (ou T=0). Intuitivamente: a aceleração angular não é constante aqui (a aceleração \alpha(t)=d\omega/dt=6\beta t cresce com t), então a velocidade aumenta mais perto do final do intervalo — a média aritmética dos extremos “superestima” a média efetiva quando a velocidade cresce de forma côncava para cima nesse caso.

Passo 7

Resumo final rápido e um empurrãozinho de ânimo: já temos a fórmula geral \omega(t)=\gamma+3\beta t^{2}, os valores numéricos pedidos e a explicação por que a média simples dos extremos não bate com a média temporal. Vai com calma na prova — aplica derivada para o instante e deslocamento/tempo para a média; e se aparecer uma função polinomial, faça como aqui: derive termo a termo e integre termo a termo.

Resposta

(a) \omega(t)=\gamma+3\beta t^{2}=0,400+0,0360\,t^{2}\\ \mathrm{rad/s}
(b) \omega(0)=0,400\\ \mathrm{rad/s}
(c) \omega(5{,}00)=1,300\\ \mathrm{rad/s}
\omega_{\mathrm{mz}}=0,700\\ \mathrm{rad/s}

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