Questão 4
Expresse a segunda lei de Newton utilizando coordenadas polares.
Para o caso do movimento circular uniforme,
ctc, mostre que a aceleração é expressa por
, onde
é a velocidade linear, tangente à trajetória e
é o raio da trajetória.
Para o caso do movimento circular uniforme,
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Expressar a segunda lei de Newton usando coordenadas polares, ou seja escrever
com dada em componentes polares (direções e ). - No caso do movimento circular uniforme (isto é,
cte e cte), mostrar que a aceleração tem magnitude , onde é a velocidade linear tangencial e o raio.
Informações fornecidas / condições a usar:
- A segunda lei:
. - Coordenadas polares: posição dada por
e ; vetores unitários locais (radial) e (transversal/tangencial). - Caso especial: movimento circular uniforme com
cte e cte (logo e , também ).
Passo 2
Representar a posição em coordenadas polares e entender os vetores unitários.
- A posição vetorial de uma partícula em coordenadas polares é
Aqui
é o vetor unitário apontando do centro para a partícula, e
é o vetor unitário tangente à linha de constante
, no sentido do aumento de
. Ambos dependem de
, portanto variam no tempo quando
.
A propriedade importante (que vamos usar depois) é como os vetores unitários mudam quando
varia. Diferenciando geometricamente (ou lembrando a relação padrão) obtemos
Aplicando cadeia de derivação temporal (
) segue
Explicação curta e intuitiva: quando
aumenta um pouco,
gira na direção de
e
gira para apontar um pouco para o sentido oposto de
.
Passo 3
Calcular a velocidade em coordenadas polares.
- A velocidade é a derivada temporal da posição:
- Substituindo
(do passo anterior) dá
Interpretação: a componente radial da velocidade é
(sai/entra radialmente) e a componente tangencial é
(velocidade linear ao longo da circunferência de raio
).
Passo 4
Calcular a aceleração em coordenadas polares (passo a passo com regra do produto).
- Diferencie
:
Calcule cada termo separadamente.
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
Agora
e
. Substituindo:
Organizando os termos de
e
:
- Coeficiente de
: do primeiro termo e mais do segundo, totalizando . - Coeficiente de
: do primeiro termo e do segundo, totalizando .
Portanto a aceleração final é
Passo 5
Escrever a segunda lei de Newton em componentes polares e interpretar os termos.
- A segunda lei vetorial
fica, em componentes polares,
Isto equivale às duas equações escalares (componentes radial e tangencial):
Interpretações rápidas:
- O termo
em é a aceleração centrípeta (aponta para o centro). - O termo
em aparece quando há variação radial e corresponde a um efeito tipo “força de Coriolis” na descrição em coordenadas polares (é nulo se ).
Passo 6
Aplicar ao caso especial: movimento circular uniforme.
- Para movimento circular uniforme temos
cte e cte. Logo
- Substituindo na expressão da aceleração:
Assim a aceleração é puramente radial, dirigida para o centro (sinal negativo em
), com magnitude
- Relacionando com a velocidade linear tangencial: da componente tangencial da velocidade (passo 3) com
vem
Substituindo em
obtemos
Portanto, para movimento circular uniforme a aceleração centrípeta tem magnitude
e direção radial para o centro.