Questão 4

Expresse a segunda lei de Newton utilizando coordenadas polares.
Para o caso do movimento circular uniforme, \dot{\theta}= ctc, mostre que a aceleração é expressa por a=r \dot{\theta}^{2}=\frac{v^{2}}{r}, onde v é a velocidade linear, tangente à trajetória e r é o raio da trajetória.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Expressar a segunda lei de Newton usando coordenadas polares, ou seja escrever \vec F = m\vec a com \vec a dada em componentes polares (direções \hat{r} e \hat{\theta}).
  • No caso do movimento circular uniforme (isto é, \dot{\theta}= cte e r= cte), mostrar que a aceleração tem magnitude a=r\dot{\theta}^{2}=\dfrac{v^{2}}{r}, onde v é a velocidade linear tangencial e r o raio.
Informações fornecidas / condições a usar:
  • A segunda lei: \vec F = m\vec a.
  • Coordenadas polares: posição dada por r e \theta; vetores unitários locais \hat{r} (radial) e \hat{\theta} (transversal/tangencial).
  • Caso especial: movimento circular uniforme com \dot{\theta}= cte e r= cte (logo \dot r=0 e \ddot r=0, também \ddot\theta=0).

Passo 2

Representar a posição em coordenadas polares e entender os vetores unitários.
  • A posição vetorial de uma partícula em coordenadas polares é
\vec{r}=r\,\hat{r}.
Aqui \hat{r} é o vetor unitário apontando do centro para a partícula, e \hat{\theta} é o vetor unitário tangente à linha de constante r, no sentido do aumento de \theta. Ambos dependem de \theta, portanto variam no tempo quando \theta=\theta(t).
A propriedade importante (que vamos usar depois) é como os vetores unitários mudam quando \theta varia. Diferenciando geometricamente (ou lembrando a relação padrão) obtemos
\frac{d\hat{r}}{d\theta}=\hat{\theta}, \qquad \frac{d\hat{\theta}}{d\theta}=-\hat{r}.
Aplicando cadeia de derivação temporal ( d/dt = \dot{\theta}\,d/d\theta) segue
\dot{\hat{r}}=\dot{\theta}\,\hat{\theta}, \qquad \dot{\hat{\theta}}=-\dot{\theta}\,\hat{r}.
Explicação curta e intuitiva: quando \theta aumenta um pouco, \hat{r} gira na direção de \hat{\theta} e \hat{\theta} gira para apontar um pouco para o sentido oposto de \hat{r}.

Passo 3

Calcular a velocidade em coordenadas polares.
  • A velocidade é a derivada temporal da posição:
\vec{v}=\dot{\vec r}=\dot r\,\hat{r}+r\,\dot{\hat r}.
  • Substituindo \dot{\hat r}=\dot{\theta}\,\hat{\theta} (do passo anterior) dá
\vec{v}=\dot r\,\hat{r}+r\dot{\theta}\,\hat{\theta}.
Interpretação: a componente radial da velocidade é \dot r (sai/entra radialmente) e a componente tangencial é r\dot{\theta} (velocidade linear ao longo da circunferência de raio r).

Passo 4

Calcular a aceleração em coordenadas polares (passo a passo com regra do produto).
  • Diferencie \vec v:
\vec a=\dot{\vec v}=\frac{d}{dt}\big(\dot r\,\hat r\big)+\frac{d}{dt}\big(r\dot\theta\,\hat\theta\big).
Calcule cada termo separadamente.
  1. Primeiro termo:
\frac{d}{dt}\big(\dot r\,\hat r\big)=\ddot r\,\hat r+\dot r\,\dot{\hat r} =\ddot r\,\hat r+\dot r\,\dot\theta\,\hat\theta.
  1. Segundo termo:
\frac{d}{dt}\big(r\dot\theta\,\hat\theta\big) =\frac{d}{dt}\big(r\dot\theta\big)\hat\theta+r\dot\theta\,\dot{\hat\theta}.
Agora \dfrac{d}{dt}(r\dot\theta)=\dot r\dot\theta+r\ddot\theta e \dot{\hat\theta}=-\dot\theta\,\hat r. Substituindo:
\frac{d}{dt}\big(r\dot\theta\,\hat\theta\big) =(\dot r\dot\theta+r\ddot\theta)\hat\theta + r\dot\theta(-\dot\theta\,\hat r).
Organizando os termos de \hat r e \hat\theta:
  • Coeficiente de \hat r: \ddot r do primeiro termo e mais -r\dot\theta^{2} do segundo, totalizando \ddot r - r\dot\theta^{2}.
  • Coeficiente de \hat\theta: \dot r\dot\theta do primeiro termo e \dot r\dot\theta + r\ddot\theta do segundo, totalizando 2\dot r\dot\theta + r\ddot\theta.
Portanto a aceleração final é
\vec a=\big(\ddot r - r\dot\theta^{2}\big)\,\hat r + \big(r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta\big)\,\hat\theta.

Passo 5

Escrever a segunda lei de Newton em componentes polares e interpretar os termos.
  • A segunda lei vetorial \vec F=m\vec a fica, em componentes polares,
\vec F = m\big[\big(\ddot r - r\dot\theta^{2}\big)\,\hat r + \big(r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta\big)\,\hat\theta\big].
Isto equivale às duas equações escalares (componentes radial e tangencial):
F_{r}=m\big(\ddot r - r\dot\theta^{2}\big), \qquad F_{\theta}=m\big(r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta\big).
Interpretações rápidas:
  • O termo -m r\dot\theta^{2} em F_{r} é a aceleração centrípeta (aponta para o centro).
  • O termo 2m\dot r\dot\theta em F_{\theta} aparece quando há variação radial e corresponde a um efeito tipo “força de Coriolis” na descrição em coordenadas polares (é nulo se \dot r=0).

Passo 6

Aplicar ao caso especial: movimento circular uniforme.
  • Para movimento circular uniforme temos r= cte e \dot{\theta}= cte. Logo
\dot r=0,\qquad \ddot r=0,\qquad \ddot\theta=0.
  • Substituindo na expressão da aceleração:
\vec a=\big(0 - r\dot\theta^{2}\big)\,\hat r + \big(r\cdot 0 + 2\cdot 0\cdot\dot\theta\big)\,\hat\theta =-r\dot\theta^{2}\,\hat r.
Assim a aceleração é puramente radial, dirigida para o centro (sinal negativo em \hat r), com magnitude
a = r\dot\theta^{2}.
  • Relacionando com a velocidade linear tangencial: da componente tangencial da velocidade (passo 3) com \dot r=0 vem
v = r\dot\theta.
Substituindo em a=r\dot\theta^{2} obtemos
a=r\dot\theta^{2}=\frac{(r\dot\theta)^{2}}{r}=\frac{v^{2}}{r}.
Portanto, para movimento circular uniforme a aceleração centrípeta tem magnitude \dfrac{v^{2}}{r} e direção radial para o centro.

Resposta

\vec F = m\Big[\big(\ddot r - r\dot\theta^{2}\big)\,\hat r + \big(r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta\big)\,\hat\theta\Big]
a = r\dot{\theta}^{2}=\frac{v^{2}}{r}

Exercícios relacionados