4{ }^{\text {a }} Questão - Uma nadadora atravessa um rio avançando a 1,6 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em relação a àgua. Atinge um ponto 40 m a jusante da perpendicular ao ponto de partida. A largura do rio é de 80 m , (a) Qual a velocidade da corrente do rio? (b) Qual a velocidade da nadadora em relação ás margens do rio? (c) Em que direção deveria avanaçar a nadadora de modo a cruzar o rio na perpendicular? (Resposta (a) 0,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s} (b) 1,79 \mathrm{~m} / \mathrm{s} (c) 30^{\circ} a montante).

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei estes números do enunciado):
  • A velocidade da nadadora em relação à água é \:v_s=1,6\\ \mathrm{m/s}.
  • Ela atinge um ponto 40\\ \mathrm{m} a jusante da perpendicular ao ponto de partida; ou seja, o deslocamento a jusante é \:x=40\\ \mathrm{m}.
  • A largura do rio (distância perpendicular entre margens) é \:w=80\\ \mathrm{m}.
O enunciado pede:
(a) a velocidade da corrente do rio \:v_c;
(b) a velocidade da nadadora em relação às margens (a velocidade resultante em relação ao solo) \:v_g;
(c) em que direção (ângulo) a nadadora deve avançar para cruzar o rio exatamente na perpendicular (isto é, sem ser desviada a jusante).

Passo 2

Modelo físico e escolha de eixos (isso é importante para montar as contas). Vou tomar um sistema de coordenadas fácil:
  • eixo y: direção perpendicular às margens (atravessamento, de uma margem à outra).
  • eixo x: direção paralela à corrente, positiva no sentido jusante.
Explicação física do movimento por vetores:
  • A velocidade da corrente do rio é um vetor puramente na direção x: \vec{v}_c=(v_c,0).
  • A velocidade da nadadora em relação à água tem magnitude \:v_s e, no caso do enunciado, ela “avança” perpendicularmente à margem em relação à água (isto é o caso típico que leva ao deslocamento a jusante). Assim, quando ela nada apontando estritamente na direção perpendicular, sua velocidade relativa à água é \vec{v}_s=(0,v_s).
  • A velocidade da nadadora em relação ao solo (às margens) é a soma vetorial
\vec{v}_g=\vec{v}_s+\vec{v}_c=(v_c,\;v_s).
Ou seja, componente x igual a v_c (a corrente arrasta-a) e componente y igual a v_s.

Passo 3

Tempo de travessia quando a nadadora aponta perpendicularmente à margem.
A componente que atravessa o rio (direção y) é \:v_{g,y}=v_s. O tempo necessário para percorrer a largura w é
t=\frac{w}{v_s}.
Substituindo os números (tudo em ambiente matemático):
t=\frac{80}{1,6}.
Calcule passo a passo:
80\div 1,6 = 80\div\left(\dfrac{16}{10}\right)=80\cdot\dfrac{10}{16}=80\cdot\dfrac{5}{8}=10\cdot5=50.
Logo
t=50\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Determinar a velocidade da corrente (parte (a)) usando o deslocamento a jusante observado.
O deslocamento a jusante \:x é produzido pela componente x da velocidade em relação ao solo, que é exatamente \:v_c. Como o tempo de travessia é t, vale
x=v_c\,t.
Isolando v_c:
v_c=\frac{x}{t}=\frac{40}{50}.
Fazendo a conta:
\frac{40}{50}=0,8.
Portanto
v_c=0,8\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Calcular a velocidade da nadadora em relação às margens (parte (b)).
Já sabemos as componentes da velocidade em relação ao solo:
v_{g,x}=v_c=0,8,\qquad v_{g,y}=v_s=1,6.
A magnitude da velocidade resultante usa o Teorema de Pitágoras:
v_g=\sqrt{v_{g,x}^{2}+v_{g,y}^{2}}=\sqrt{v_c^{2}+v_s^{2}}.
Substituindo:
v_g=\sqrt{0,8^{2}+1,6^{2}}=\sqrt{0,64+2,56}=\sqrt{3,20}.
Agora a raiz:
\sqrt{3,20}\approx1,78885\ldots
Arredondando para duas casas decimais:
v_g\approx1,79\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Em que direção a nadadora deve apontar para cruzar na perpendicular (parte (c)) — ideia e contas.
Agora queremos que a componente x da velocidade em relação ao solo seja zero, para que não haja deslocamento a jusante nem a montante. Isso significa escolher a direção da velocidade relativa à água de modo que sua componente x anule a corrente: o componente x da velocidade da nadadora relativa à água deve ser igual em módulo a v_c e apontar para montante.
Defina o ângulo \theta como o ângulo entre a direção que a nadadora aponta e a perpendicular à margem, medido em direção a montante. Assim:
  • a componente para montante (no eixo x, com sinal negativo) da velocidade relativa à água tem módulo v_s\sin\theta,
  • queremos v_s\sin\theta=v_c.
Logo
\sin\theta=\frac{v_c}{v_s}.
Substituindo os valores:
\sin\theta=\frac{0,8}{1,6}=0,5.
Quem tem seno igual a 0,5? É \theta=30^\circ. Portanto a nadadora deve apontar 30^\circ a montante em relação à perpendicular.
(Pequeno comentário didático: outra forma é decompor \vec{v}_s em v_s\cos\theta perpendicular e v_s\sin\theta paralela; o componente perpendicular v_s\cos\theta dá o tempo de travessia, e o componente paralela cancela a corrente.)

Passo 7

Resumo rápido de verificação numérica:
  • Tempo quando ela aponta perpendicular: t=50\\ \mathrm{s}. O arrasto foi v_c\,t=0,8\cdot50=40\\ \mathrm{m}, bate com o enunciado.
  • Para cruzar perpendicular apontando \theta=30^\circ a montante, a componente perpendicular será v_s\cos30^\circ=1,6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\approx1,39\\ \mathrm{m/s}, tempo de travessia seria maior, mas não era pedido. Só é bom saber que o procedimento é consistente.

Resposta

(a) 0,8\\ \mathrm{m/s}
(b) 1,79\\ \mathrm{m/s}
(c) 30^\circ a montante

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