Questão - Uma nadadora atravessa um rio avançando a
em relação a àgua. Atinge um ponto 40 m a jusante da perpendicular ao ponto de partida. A largura do rio é de 80 m , (a) Qual a velocidade da corrente do rio? (b) Qual a velocidade da nadadora em relação ás margens do rio? (c) Em que direção deveria avanaçar a nadadora de modo a cruzar o rio na perpendicular? (Resposta (a)
(b)
(c)
a montante).
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei estes números do enunciado):
- A velocidade da nadadora em relação à água é
. - Ela atinge um ponto
a jusante da perpendicular ao ponto de partida; ou seja, o deslocamento a jusante é . - A largura do rio (distância perpendicular entre margens) é
.
O enunciado pede:
(a) a velocidade da corrente do rio ;
(b) a velocidade da nadadora em relação às margens (a velocidade resultante em relação ao solo) ;
(c) em que direção (ângulo) a nadadora deve avançar para cruzar o rio exatamente na perpendicular (isto é, sem ser desviada a jusante).
(a) a velocidade da corrente do rio
(b) a velocidade da nadadora em relação às margens (a velocidade resultante em relação ao solo)
(c) em que direção (ângulo) a nadadora deve avançar para cruzar o rio exatamente na perpendicular (isto é, sem ser desviada a jusante).
Passo 2
Modelo físico e escolha de eixos (isso é importante para montar as contas). Vou tomar um sistema de coordenadas fácil:
- eixo
: direção perpendicular às margens (atravessamento, de uma margem à outra). - eixo
: direção paralela à corrente, positiva no sentido jusante.
Explicação física do movimento por vetores:
- A velocidade da corrente do rio é um vetor puramente na direção
: . - A velocidade da nadadora em relação à água tem magnitude
e, no caso do enunciado, ela “avança” perpendicularmente à margem em relação à água (isto é o caso típico que leva ao deslocamento a jusante). Assim, quando ela nada apontando estritamente na direção perpendicular, sua velocidade relativa à água é . - A velocidade da nadadora em relação ao solo (às margens) é a soma vetorial
Ou seja, componente
igual a
(a corrente arrasta-a) e componente
igual a
.
Passo 3
Tempo de travessia quando a nadadora aponta perpendicularmente à margem.
A componente que atravessa o rio (direção
) é
. O tempo necessário para percorrer a largura
é
Substituindo os números (tudo em ambiente matemático):
Calcule passo a passo:
Logo
Passo 4
Determinar a velocidade da corrente (parte (a)) usando o deslocamento a jusante observado.
O deslocamento a jusante
é produzido pela componente
da velocidade em relação ao solo, que é exatamente
. Como o tempo de travessia é
, vale
Isolando
:
Fazendo a conta:
Portanto
Passo 5
Calcular a velocidade da nadadora em relação às margens (parte (b)).
Já sabemos as componentes da velocidade em relação ao solo:
A magnitude da velocidade resultante usa o Teorema de Pitágoras:
Substituindo:
Agora a raiz:
Arredondando para duas casas decimais:
Passo 6
Em que direção a nadadora deve apontar para cruzar na perpendicular (parte (c)) — ideia e contas.
Agora queremos que a componente
da velocidade em relação ao solo seja zero, para que não haja deslocamento a jusante nem a montante. Isso significa escolher a direção da velocidade relativa à água de modo que sua componente
anule a corrente: o componente
da velocidade da nadadora relativa à água deve ser igual em módulo a
e apontar para montante.
Defina o ângulo
como o ângulo entre a direção que a nadadora aponta e a perpendicular à margem, medido em direção a montante. Assim:
- a componente para montante (no eixo
, com sinal negativo) da velocidade relativa à água tem módulo , - queremos
.
Logo
Substituindo os valores:
Quem tem seno igual a
? É
. Portanto a nadadora deve apontar
a montante em relação à perpendicular.
(Pequeno comentário didático: outra forma é decompor
em
perpendicular e
paralela; o componente perpendicular
dá o tempo de travessia, e o componente paralela cancela a corrente.)
Passo 7
Resumo rápido de verificação numérica:
- Tempo quando ela aponta perpendicular:
. O arrasto foi , bate com o enunciado. - Para cruzar perpendicular apontando
a montante, a componente perpendicular será , tempo de travessia seria maior, mas não era pedido. Só é bom saber que o procedimento é consistente.
Resposta
(a)
(b)
(c) a montante
(b)
(c)