3.3 Calcula as derivadas, assumindo que a derivada da função está definida no seu domínio máximo.
f(x)=\sqrt{1-x \sqrt{1-x}}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\sqrt{1-x\sqrt{1-x}}
e pede para calcular as derivadas, assumindo que a derivada está definida no domínio máximo da função. Vou listar claramente o que o problema pede e as informações que temos:
  • O que pedir: encontrar f'(x) — ou seja, a fórmula da derivada de f.
  • Informações dadas: a expressão explícita de f(x) com radicais aninhados: há uma raiz externa \sqrt{\cdot} e, dentro dela, a expressão 1-x\sqrt{1-x} que contém outra raiz \sqrt{1-x}.
  • Precisamos também verificar o domínio onde f está definida (pois a existência da derivada depende do domínio) e indicar onde a fórmula da derivada vale.

Passo 2

Determinar o domínio de f (onde a função está definida).
  • Para que \sqrt{1-x} exista como número real, é necessário ter
1-x \ge 0 \quad\Rightarrow\quad x \le 1.
  • Depois, a expressão dentro da raiz externa é 1-x\sqrt{1-x}. Como já temos \sqrt{1-x}\ge0 quando x\le1, calculemos se é possível que 1-x\sqrt{1-x}<0. Definindo
g(x)=x\sqrt{1-x},
verificamos o máximo de g em (-\infty,1]. Calculando g'(x) (vai aparecer na próxima etapa), obtemos que g atinge máximo em x=\tfrac{2}{3} com
g\!\left(\tfrac{2}{3}\right)=\frac{2}{3}\sqrt{\tfrac{1}{3}}=\frac{2}{3\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{9}\approx0{,}385<1.
Portanto x\sqrt{1-x}\le\frac{2\sqrt{3}}{9}<1 para todo x\le1, o que garante
1-x\sqrt{1-x}\ge 1-\frac{2\sqrt{3}}{9}>0.
Conclusão: a raiz externa também está bem definida para todo x\le1. Logo o domínio máximo de f é
\text{Dom}(f)=(-\infty,\,1].

Passo 3

Preparar a diferenciação: reescrever f como composição para aplicar a regra da cadeia.
  • Escrevo f como composição f(x)=\big(h(x)\big)^{1/2} com
h(x)=1-x\sqrt{1-x}.
  • Regra da cadeia (lembrete didático): se F(x)=\big(H(x)\big)^{1/2}, então
F'(x)=\frac{1}{2}\big(H(x)\big)^{-1/2}\cdot H'(x).
Aqui \big(H(x)\big)^{-1/2} é o mesmo que 1/\sqrt{H(x)}. Isso é a aplicação direta de \dfrac{d}{du}\sqrt{u}=\dfrac{1}{2\sqrt{u}} junto com a multiplicação pelo H'(x).

Passo 4

Calcular h'(x). Aqui aparece um produto x\cdot\sqrt{1-x}, então uso a regra do produto e a regra da cadeia.
  • Primeiro, escrevo
h(x)=1 - x\sqrt{1-x}.
  • Regra do produto (lembrete): se p(x)=u(x)v(x), então p'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
  • Tomo u(x)=x e v(x)=\sqrt{1-x}. Então u'(x)=1.
  • A derivada de v(x)=\sqrt{1-x} usa a regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}\sqrt{1-x}=\dfrac{1}{2\sqrt{1-x}}\cdot (1-x)'. Como (1-x)'=-1, obtemos
\frac{d}{dx}\sqrt{1-x}=-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}.
  • Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(x\sqrt{1-x}\big)=1\cdot\sqrt{1-x}+x\cdot\left(-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\right) =\sqrt{1-x}-\frac{x}{2\sqrt{1-x}}.
  • Como h(x)=1-(x\sqrt{1-x}), obtemos
h'(x)=-\left(\sqrt{1-x}-\frac{x}{2\sqrt{1-x}}\right) =-\sqrt{1-x}+\frac{x}{2\sqrt{1-x}}.
  • Para simplificar, colocamos sobre o mesmo denominador 2\sqrt{1-x}:
-\sqrt{1-x}=-\frac{2(1-x)}{2\sqrt{1-x}},
portanto
h'(x)=-\frac{2(1-x)}{2\sqrt{1-x}}+\frac{x}{2\sqrt{1-x}} =\frac{-2(1-x)+x}{2\sqrt{1-x}}=\frac{3x-2}{2\sqrt{1-x}}.
Observação: o denominador \sqrt{1-x} está bem definido e positivo para x<1; em x=1 ele zera e a expressão acima fica indefinida (vamos tratar isso depois).

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia para obter f'(x).
  • Pela regra da cadeia:
f'(x)=\frac{1}{2}\big(h(x)\big)^{-1/2}\cdot h'(x) =\frac{h'(x)}{2\sqrt{h(x)}}.
  • Substituindo h(x)=1-x\sqrt{1-x} e h'(x)=\dfrac{3x-2}{2\sqrt{1-x}}, obtemos
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{\,1-x\sqrt{1-x}\,}}\cdot\frac{3x-2}{2\sqrt{1-x}} =\frac{3x-2}{4\sqrt{1-x}\,\sqrt{\,1-x\sqrt{1-x}\,}}.

Passo 6

Discutir onde essa fórmula vale e comportamento em x=1.
  • A fórmula encontrada
f'(x)=\frac{3x-2}{4\sqrt{1-x}\,\sqrt{\,1-x\sqrt{1-x}\,}}
é válida sempre que todos os termos do denominador forem positivos e as operações forem permitidas. Temos:
  • \sqrt{1-x} está definida e positiva para x<1 (em x=1 zera);
  • \sqrt{\,1-x\sqrt{1-x}\,} está definida e estritamente positiva para todo x\le1 (pelo passo 2 vimos que o interior é sempre >0).
  • Portanto a expressão para f'(x) é válida para todo x<1.
  • Em x=1 o fator \sqrt{1-x} no denominador zera, então a expressão diverge e a derivada não é finita; portanto f não é diferenciável em x=1 no sentido de possuir derivada finita. Concluímos que f é diferenciável em (-\infty,1) e a fórmula acima dá f'(x) nesse intervalo.

Resposta

f'(x)=\frac{3x-2}{4\sqrt{1-x}\,\sqrt{\,1-x\sqrt{1-x}\,}},\qquad x<1
A função tem domínio (-\infty,1] e não é diferenciável em x=1.

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