3.3 Calcula as derivadas, assumindo que a derivada da função está definida no seu domínio máximo.
f(x)=\sqrt{1-x \sqrt{1-x}}
f(x)=\sqrt{1-x \sqrt{1-x}}
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular as derivadas, assumindo que a derivada está definida no domínio máximo da função. Vou listar claramente o que o problema pede e as informações que temos:
- O que pedir: encontrar
— ou seja, a fórmula da derivada de . - Informações dadas: a expressão explícita de
com radicais aninhados: há uma raiz externa e, dentro dela, a expressão que contém outra raiz . - Precisamos também verificar o domínio onde
está definida (pois a existência da derivada depende do domínio) e indicar onde a fórmula da derivada vale.
Passo 2
Determinar o domínio de
(onde a função está definida).
- Para que
exista como número real, é necessário ter
- Depois, a expressão dentro da raiz externa é
. Como já temos quando , calculemos se é possível que . Definindo
verificamos o máximo de
em
. Calculando
(vai aparecer na próxima etapa), obtemos que
atinge máximo em
com
Portanto
para todo
, o que garante
Conclusão: a raiz externa também está bem definida para todo
. Logo o domínio máximo de
é
Passo 3
Preparar a diferenciação: reescrever
como composição para aplicar a regra da cadeia.
- Escrevo
como composição com
- Regra da cadeia (lembrete didático): se
, então
Aqui
é o mesmo que
. Isso é a aplicação direta de
junto com a multiplicação pelo
.
Passo 4
Calcular
. Aqui aparece um produto
, então uso a regra do produto e a regra da cadeia.
- Primeiro, escrevo
- Regra do produto (lembrete): se
, então . - Tomo
e . Então . - A derivada de
usa a regra da cadeia: . Como , obtemos
- Aplicando a regra do produto:
- Como
, obtemos
- Para simplificar, colocamos sobre o mesmo denominador
:
portanto
Observação: o denominador
está bem definido e positivo para
; em
ele zera e a expressão acima fica indefinida (vamos tratar isso depois).
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia para obter
.
- Pela regra da cadeia:
- Substituindo
e , obtemos
Passo 6
Discutir onde essa fórmula vale e comportamento em
.
- A fórmula encontrada
é válida sempre que todos os termos do denominador forem positivos e as operações forem permitidas. Temos:
-
está definida e positiva para (em zera); -
está definida e estritamente positiva para todo (pelo passo 2 vimos que o interior é sempre ). - Portanto a expressão para
é válida para todo . - Em
o fator no denominador zera, então a expressão diverge e a derivada não é finita; portanto não é diferenciável em no sentido de possuir derivada finita. Concluímos que é diferenciável em e a fórmula acima dá nesse intervalo.
Resposta
A função tem domínio
e não é diferenciável em
.