3.3 Calcula as derivadas, assumindo que a derivada da função está definida no seu domínio máximo.
f(x)=\cos ^{7} x
f(x)=\cos ^{7} x
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas (assumindo que a derivada está definida no domínio máximo) da função
.
Informações relevantes que o enunciado nos dá:
Informações relevantes que o enunciado nos dá:
- A função é
. - Deve-se assumir que a derivada existe no maior domínio possível (ou seja, onde as funções envolvidas são diferenciáveis).
- Não há imagens nem dados adicionais.
Passo 2
Ideia-chave que vamos usar: regra da cadeia. Vou explicar passo a passo o que é e por que serve.
Regra da cadeia (explicação didática): se uma função
é composta, isto é, se
onde
é uma função interna e
é a função externa, então a derivada de
é dada por
O que isso significa em palavras simples: primeiro derivamos a função externa
em relação à sua variável
(como se
fosse uma variável independente), avaliamos essa derivada em
e depois multiplicamos pelo derivado da função interna
. É a regra que “encadeia” as derivadas.
Exemplo simples para fixar (pequeno e concreto): para
, usa-se a regra da cadeia com
e
. Então
Passo 3
Identificação das partes da composição para a função dada:
- Função interna:
. Vou explicar: é a parte que está “dentro” da potência. - Função externa:
.
Agora calculamos as derivadas das partes:
- Derivada da função externa (regra do potência): para
vale
Aqui a regra do potência diz que, se
com
inteiro, então
. Isso é uma fórmula básica e muito usada em provas.
- Derivada da função interna:
. A derivada de é
Lembrete: a derivada de
é
e a de
é
; memorizando isso já resolve muitas derivadas trigonométricas.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia:
com
e
. Então
Substituindo
obtemos a expressão intermediária
Passo 5
Observação sobre domínio (importante por causa do enunciado): as funções
e
são diferenciáveis para todo
. Portanto a derivada de
existe para todo
. Em outras palavras, o domínio máximo onde a derivada está definida é
.
Um comentário final encorajador: a técnica foi identificar a parte interna (a trigonométrica) e a externa (a potência), aplicar a regra da cadeia e usar as derivadas básicas
e
. Se fizer isso com calma nas próximas questões, fica bem tranquilo.