3.3 Calcula as derivadas, assumindo que a derivada da função está definida no seu domínio máximo.
f(x)=\cos ^{7} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas (assumindo que a derivada está definida no domínio máximo) da função
f(x)=\cos^{7}x.
Informações relevantes que o enunciado nos dá:
  • A função é f(x)=(\cos x)^{7}.
  • Deve-se assumir que a derivada existe no maior domínio possível (ou seja, onde as funções envolvidas são diferenciáveis).
  • Não há imagens nem dados adicionais.

Passo 2

Ideia-chave que vamos usar: regra da cadeia. Vou explicar passo a passo o que é e por que serve.
Regra da cadeia (explicação didática): se uma função h é composta, isto é, se
h(x)=g(u(x)),
onde u(x) é uma função interna e g(u) é a função externa, então a derivada de h é dada por
h'(x)=g'\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
O que isso significa em palavras simples: primeiro derivamos a função externa g em relação à sua variável u (como se u fosse uma variável independente), avaliamos essa derivada em u(x) e depois multiplicamos pelo derivado da função interna u(x). É a regra que “encadeia” as derivadas.
Exemplo simples para fixar (pequeno e concreto): para H(x)=(x^2+1)^3, usa-se a regra da cadeia com u(x)=x^2+1 e g(u)=u^3. Então
H'(x)=3(u(x))^{2}\cdot u'(x)=3(x^2+1)^2\cdot 2x.

Passo 3

Identificação das partes da composição para a função dada:
  • Função interna: u(x)=\cos x. Vou explicar: é a parte que está “dentro” da potência.
  • Função externa: g(u)=u^{7}.
Agora calculamos as derivadas das partes:
  • Derivada da função externa (regra do potência): para g(u)=u^{7} vale
g'(u)=7u^{6}.
Aqui a regra do potência diz que, se g(u)=u^{n} com n inteiro, então g'(u)=n u^{n-1}. Isso é uma fórmula básica e muito usada em provas.
  • Derivada da função interna: u(x)=\cos x. A derivada de \cos x é
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(\cos x\big)=-\sin x.
Lembrete: a derivada de \sin x é \cos x e a de \cos x é -\sin x; memorizando isso já resolve muitas derivadas trigonométricas.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia: f(x)=g(u(x)) com g'(u)=7u^{6} e u'(x)=-\sin x. Então
f'(x)=g'\big(u(x)\big)\cdot u'(x)=7\big(u(x)\big)^{6}\cdot\big(-\sin x\big).
Substituindo u(x)=\cos x obtemos a expressão intermediária
f'(x)=7\big(\cos x\big)^{6}\cdot\big(-\sin x\big).

Passo 5

Observação sobre domínio (importante por causa do enunciado): as funções \cos x e \sin x são diferenciáveis para todo x\in\mathbb{R}. Portanto a derivada de f existe para todo x\in\mathbb{R}. Em outras palavras, o domínio máximo onde a derivada está definida é \mathbb{R}.
Um comentário final encorajador: a técnica foi identificar a parte interna (a trigonométrica) e a externa (a potência), aplicar a regra da cadeia e usar as derivadas básicas \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x e \frac{d}{du}u^7=7u^6. Se fizer isso com calma nas próximas questões, fica bem tranquilo.

Resposta

-7\cos^{6}x\sin x

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