3.3 Calcula as derivadas, assumindo que a derivada da função está definida no seu domínio máximo.
f(x)=\cos (x^{2})

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função \,f(x)=\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,, assumindo que a derivada existe no domínio máximo. Informações dadas e objetivo:
  • A função é f(x)=\cos\bigl(x^{2}\bigr).
  • Pede-se f'(x) (a derivada em função de x).
  • A função composta está definida para todo x\in\mathbb{R} (pois x^{2} é definido em \mathbb{R} e \cos também), então o domínio de f é \mathbb{R}.

Passo 2

Identificar a estrutura da função (sem resolver ainda): \,f(x) é uma composição de duas funções — uma função exterior aplicada a uma função interior. Escrevendo isso explicitamente:
u(x)=x^{2}\qquad\text{e}\qquad g(t)=\cos(t),
de modo que
f(x)=g\bigl(u(x)\bigr).
Agora, a regra que vamos usar para derivar composições é a chamada regra da cadeia. A regra da cadeia afirma:
\text{se }f(x)=g\bigl(u(x)\bigr)\text{ e }g\text{ e }u\text{ são diferenciáveis, então }f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).ãáã
Explicando cada símbolo:
  • u(x) é a função interior (a variável intermediária depende de x);
  • g(t) é a função exterior, escrita com uma variável genérica t;
  • g'(u(x)) significa dérivada da função exterior avaliada no valor u(x);
  • u'(x) é a derivada da função interior;
  • Multiplica-se esses dois fatores para obter a derivada da composição.
Intuição rápida (sem formalidade): imagine que u(x) transforma x e depois g transforma o resultado; a velocidade de mudança final é a velocidade de g para cada mudança do seu argumento, vezes a velocidade com que esse argumento muda com x.

Passo 3

Calcular a derivada da função interior u(x)=x^{2}. Para isso usamos a regra do poder (power rule): para todo número real n,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
Aqui n=2. Aplicando:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.
Explicando: multiplica-se pelo expoente 2 e reduz-se o expoente em 1, ficando 2x^{1}=2x.

Passo 4

Calcular a derivada da função exterior g(t)=\cos(t). A derivada conhecida da função cosseno é
g'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(\cos(t)\bigr)=-\sin(t).
Explicando: a derivada da função seno é \sin'(t)=\cos(t) e a derivada da função cosseno é \cos'(t)=-\sin(t). Portanto, quando aplicarmos a regra da cadeia, usaremos -\sin avaliado no argumento u(x).
Exemplo curto para fixar: se h(x)=\cos(3x), então pela regra da cadeia h'(x)=-\sin(3x)\cdot 3=-3\sin(3x). Isso é a mesma ideia que usaremos aqui, só que o argumento é x^{2} em vez de 3x.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia combinando os resultados dos passos anteriores. Pela regra da cadeia:
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).
Substituindo g'(t)=-\sin(t) e u(x)=x^{2} e u'(x)=2x, obtemos
f'(x)=-\sin\bigl(u(x)\bigr)\cdot 2x=-2x\,\sin\bigl(x^{2}\bigr).
Explicando a álgebra: -\sin\bigl(u(x)\bigr) é -\sin(x^{2}), e multiplicando por 2x -2x\sin(x^{2}).

Passo 6

Verificação do domínio da derivada: como tanto u(x)=x^{2} quanto g(t)=\cos(t) são diferenciáveis para todo número real, a composição f(x)=\cos(x^{2}) é diferenciável para todo x\in\mathbb{R}. Logo a fórmula encontrada vale para todo x\in\mathbb{R}.
Força aí — essa é uma das aplicações mais comuns da regra da cadeia e aparece direto em prova. Se precisar, posso fazer mais alguns exemplos parecidos para treinar.

Resposta

\,f'(x)=-2x\sin\bigl(x^{2}\bigr)

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