3.3 Calcula as derivadas, assumindo que a derivada da função está definida no seu domínio máximo.
f(x)=\cos (x^{2})
f(x)=\cos (x^{2})
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
, assumindo que a derivada existe no domínio máximo. Informações dadas e objetivo:
- A função é
. - Pede-se
(a derivada em função de ). - A função composta está definida para todo
(pois é definido em e também), então o domínio de é .
Passo 2
Identificar a estrutura da função (sem resolver ainda):
é uma composição de duas funções — uma função exterior aplicada a uma função interior. Escrevendo isso explicitamente:
de modo que
Agora, a regra que vamos usar para derivar composições é a chamada regra da cadeia. A regra da cadeia afirma:
Explicando cada símbolo:
-
é a função interior (a variável intermediária depende de ); -
é a função exterior, escrita com uma variável genérica ; -
significa dérivada da função exterior avaliada no valor ; -
é a derivada da função interior; - Multiplica-se esses dois fatores para obter a derivada da composição.
Intuição rápida (sem formalidade): imagine que
transforma
e depois
transforma o resultado; a velocidade de mudança final é a velocidade de
para cada mudança do seu argumento, vezes a velocidade com que esse argumento muda com
.
Passo 3
Calcular a derivada da função interior
. Para isso usamos a regra do poder (power rule): para todo número real
,
Aqui
. Aplicando:
Explicando: multiplica-se pelo expoente
e reduz-se o expoente em
, ficando
.
Passo 4
Calcular a derivada da função exterior
. A derivada conhecida da função cosseno é
Explicando: a derivada da função seno é
e a derivada da função cosseno é
. Portanto, quando aplicarmos a regra da cadeia, usaremos
avaliado no argumento
.
Exemplo curto para fixar: se
, então pela regra da cadeia
. Isso é a mesma ideia que usaremos aqui, só que o argumento é
em vez de
.
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia combinando os resultados dos passos anteriores. Pela regra da cadeia:
Substituindo
e
e
, obtemos
Explicando a álgebra:
é
, e multiplicando por
dá
.
Passo 6
Verificação do domínio da derivada: como tanto
quanto
são diferenciáveis para todo número real, a composição
é diferenciável para todo
. Logo a fórmula encontrada vale para todo
.
Força aí — essa é uma das aplicações mais comuns da regra da cadeia e aparece direto em prova. Se precisar, posso fazer mais alguns exemplos parecidos para treinar.