3.3 Calcula as derivadas, assumindo que a derivada da função está definida no seu domínio máximo.
f(x)=\frac{\operatorname{tg} \sqrt{x}}{1+x^{3}}
f(x)=\frac{\operatorname{tg} \sqrt{x}}{1+x^{3}}
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
assumindo que a derivada está definida no domínio máximo possível.
Informações importantes dadas (restrições que vêm do enunciado):
- A raiz quadrada exige
, pois só está definida em números reais para . - A tangente
só está definida quando , com .
Portanto preciso excluir ostais que , isto é, . - O denominador
não pode ser zero. A equação tem solução , mas como já exigimos , esse ponto não aparece no domínio aqui.
Resumo do que vou responder:
- Vou calcular
via regras usuais (quociente + cadeia). - Vou explicitar para que pontos a expressão vale (domínio de diferentiabilidade máxima) e mostrar por que
precisa ser tratado com cuidado.
Passo 2
Aplicar a regra do quociente. Lembrete da regra do quociente: se
com
e
diferenciáveis e
, então
Aqui escolho
Passo 3
Calcular
. Vou usar a regra da cadeia e a derivada da tangente.
- Regra da cadeia (explicando): se
, então . Ou seja, derivar a função externa avaliada na interna vezes a derivada da função interna. - Derivada de
em relação a é (onde ). Em TeX: . - Derivada de
(ou ) para é . Atenção: essa fórmula exige ; em a derivada da raiz diverge.
Aplicando a cadeia:
Observação: esta expressão não é válida em
porque a derivada de
não é finita em
. Vou tratar
separadamente mais adiante.
Passo 4
Calcular
. A função
tem derivada simples pelo poder:
Passo 5
Agora aplicar a fórmula do quociente com os
que encontramos. Para
e com
num valor onde a tangente e o denominador são definidos, temos
Essa é a expressão direta. Posso escrever de forma levemente mais compacta como
Passo 6
Mostrar por que
não pertence ao conjunto de diferenciabilidade (mesmo sendo
bem definida).
- Primeiro,
. A função está definida em . - Para ver se existe
calculamos o quociente incremental:
Para
, usamos a aproximação para pequenos
:
. Tomando
temos
. Portanto, para
,
Logo o limite do quociente incremental não é finito; isso mostra que
não é diferenciável em
. Em outras palavras, a expressão com
realmente sinaliza uma singularidade em
.
Passo 7
Listar claramente o domínio máximo onde a derivada existe.
- A função
existe para exceto quando (porque aí não está definida). Assim valores a excluir são para . - A derivada, porém, também exclui
(como mostramos no passo anterior). - Não há problema com
no intervalo (a solução é negativa), então não precisamos nos preocupar com isso aqui.
Portanto, a derivada existe para todos os
tais que
ou equivalentemente para todos os
com
.
Resposta
para todo
tal que
(ou seja,
,
).
A derivada não existe em .
A derivada não existe em