3.3 Calcula as derivadas, assumindo que a derivada da função está definida no seu domínio máximo.
f(x)=\frac{\operatorname{tg} \sqrt{x}}{1+x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função
f(x)=\frac{\operatorname{tg}\sqrt{x}}{1+x^{3}}
assumindo que a derivada está definida no domínio máximo possível.
Informações importantes dadas (restrições que vêm do enunciado):
  • A raiz quadrada exige x\ge 0, pois \sqrt{x} só está definida em números reais para x\ge 0.
  • A tangente \operatorname{tg}(t) só está definida quando t\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi, com k\in\{0,1,2,\dots\}.
    Portanto preciso excluir os x tais que \sqrt{x}=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, isto é, x=\bigl(\dfrac{\pi}{2}+k\pi\bigr)^{2}.
  • O denominador 1+x^{3} não pode ser zero. A equação 1+x^{3}=0 tem solução x=-1, mas como já exigimos x\ge0, esse ponto não aparece no domínio aqui.
Resumo do que vou responder:
  • Vou calcular f'(x) via regras usuais (quociente + cadeia).
  • Vou explicitar para que pontos a expressão vale (domínio de diferentiabilidade máxima) e mostrar por que x=0 precisa ser tratado com cuidado.

Passo 2

Aplicar a regra do quociente. Lembrete da regra do quociente: se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com u e v diferenciáveis e v(x)\neq0, então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{v(x)^{2}}.
Aqui escolho
u(x)=\operatorname{tg}\sqrt{x},\qquad v(x)=1+x^{3}.

Passo 3

Calcular u'(x). Vou usar a regra da cadeia e a derivada da tangente.
  • Regra da cadeia (explicando): se h(x)=\varphi(\psi(x)), então h'(x)=\varphi'(\psi(x))\cdot\psi'(x). Ou seja, derivar a função externa avaliada na interna vezes a derivada da função interna.
  • Derivada de \operatorname{tg} t em relação a t é \dfrac{d}{dt}\operatorname{tg} t=\operatorname{sec}^{2}t (onde \operatorname{sec} t=1/\cos t). Em TeX: \dfrac{d}{dt}\operatorname{tg} t=\operatorname{sec}^{2}t.
  • Derivada de \sqrt{x} (ou x^{1/2}) para x>0 é \dfrac{d}{dx}\sqrt{x}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}. Atenção: essa fórmula exige x>0; em x=0 a derivada da raiz diverge.
Aplicando a cadeia:
u'(x)=\operatorname{sec}^{2}\bigl(\sqrt{x}\bigr)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}},\qquad (x>0).
Observação: esta expressão não é válida em x=0 porque a derivada de \sqrt{x} não é finita em 0. Vou tratar x=0 separadamente mais adiante.

Passo 4

Calcular v'(x). A função v(x)=1+x^{3} tem derivada simples pelo poder:
v'(x)=3x^{2}.

Passo 5

Agora aplicar a fórmula do quociente com os u',u,v',v que encontramos. Para x>0 e com \sqrt{x} num valor onde a tangente e o denominador são definidos, temos
f'(x)=\frac{\displaystyle \operatorname{sec}^{2}\bigl(\sqrt{x}\bigr)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot\bigl(1+x^{3}\bigr)-\operatorname{tg}\bigl(\sqrt{x}\bigr)\cdot 3x^{2}}{\bigl(1+x^{3}\bigr)^{2}}.
Essa é a expressão direta. Posso escrever de forma levemente mais compacta como
f'(x)=\frac{\dfrac{\operatorname{sec}^{2}\bigl(\sqrt{x}\bigr)}{2\sqrt{x}}\,(1+x^{3})-3x^{2}\,\operatorname{tg}\bigl(\sqrt{x}\bigr)}{(1+x^{3})^{2}},\qquad (x>0,\\ \sqrt{x}\not=\tfrac{\pi}{2}+k\pi).

Passo 6

Mostrar por que x=0 não pertence ao conjunto de diferenciabilidade (mesmo sendo f(0) bem definida).
  • Primeiro, f(0)=\dfrac{\operatorname{tg}\sqrt{0}}{1+0^{3}}=\dfrac{\operatorname{tg}0}{1}=0. A função está definida em 0.
  • Para ver se existe f'(0) calculamos o quociente incremental:
\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{\operatorname{tg}\sqrt{x}}{x(1+x^{3})}.
Para x\to0^{+}, usamos a aproximação para pequenos t: \operatorname{tg}t\sim t. Tomando t=\sqrt{x} temos \operatorname{tg}\sqrt{x}\sim\sqrt{x}. Portanto, para x\to0^{+},
\frac{\operatorname{tg}\sqrt{x}}{x(1+x^{3})}\sim\frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}\to+\infty.
Logo o limite do quociente incremental não é finito; isso mostra que f não é diferenciável em x=0. Em outras palavras, a expressão com \dfrac{1}{2\sqrt{x}} realmente sinaliza uma singularidade em 0.

Passo 7

Listar claramente o domínio máximo onde a derivada existe.
  • A função f existe para x\ge 0 exceto quando \sqrt{x}=\dfrac{\pi}{2}+k\pi (porque aí \operatorname{tg} não está definida). Assim valores a excluir são x=\bigl(\dfrac{\pi}{2}+k\pi\bigr)^{2} para k=0,1,2,\dots.
  • A derivada, porém, também exclui x=0 (como mostramos no passo anterior).
  • Não há problema com 1+x^{3}=0 no intervalo x\ge0 (a solução x=-1 é negativa), então não precisamos nos preocupar com isso aqui.
Portanto, a derivada existe para todos os x>0 tais que
\sqrt{x}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k=0,1,2,\dots
ou equivalentemente para todos os x>0 com x\neq\bigl(\dfrac{\pi}{2}+k\pi\bigr)^{2}.

Resposta

f'(x)=\frac{\dfrac{\operatorname{sec}^{2}\bigl(\sqrt{x}\bigr)}{2\sqrt{x}}\,(1+x^{3})-3x^{2}\,\operatorname{tg}\bigl(\sqrt{x}\bigr)}{(1+x^{3})^{2}}
para todo x>0 tal que \sqrt{x}\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi (ou seja, x\neq\bigl(\dfrac{\pi}{2}+k\pi\bigr)^{2}, k=0,1,2,\dots).
A derivada não existe em x=0.

Exercícios relacionados