3.3 Calcula as derivadas, assumindo que a derivada da função está definida no seu domínio máximo.
f(x)=\sqrt{1-x \cos x^{2}}
f(x)=\sqrt{1-x \cos x^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
definida por
Informações dadas e o que é solicitado:
- A função é
. - O enunciado pede a derivada
, assumindo que a derivada está definida no domínio máximo possível. - É necessário ter atenção ao domínio da função (a raiz quadrada exige que o argumento seja maior ou igual a zero) e ao domínio onde a derivada existe (normalmente onde o argumento da raiz é estritamente positivo).
Passo 2
Vamos identificar o domínio da própria função
(antes de derivar), porque a derivada só pode existir onde a função está definida. A função tem raiz quadrada, então o radicando deve ser não negativo:
Portanto o domínio de
é
Não há uma forma elementar simples de escrever esse conjunto como uma combinação de intervalos fechados sem analisar pontos específicos; por isso mantemos a expressão acima. Já a derivada, em princípio, será obtida apenas nos pontos interiores desse domínio onde o radicando é estritamente positivo, isto é, onde
porque a fórmula que vem a seguir usa divisão por
.
Passo 3
Explico as regras que vou usar (passo-a-passo didático):
- Regra da cadeia para raiz quadrada: se
é diferenciável e , então
Aqui
e
.
- Produto e derivada de funções trigonométricas: para
usaremos a regra do produto
e a derivada da composta
é, pela regra da cadeia,
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo.
Passo 4
Defino o radicando como função auxiliar
Queremos
. Derivando termo a termo:
- Derivada de
é . - Derivada de
é o negativo da derivada de . Pela regra do produto:
Usando a derivada de
(regra da cadeia) obtemos
Substituindo:
Como
, temos
Passo 5
Agora aplico a regra da cadeia para
. Como
tem derivada
, obtemos, para pontos onde
,
Substituindo
e
, chega-se a
Podemos escrever o numerador em ordem mais “bonitinha”:
Passo 6
Sobre o domínio de validade da fórmula e observações finais:
- A fórmula acima é válida em todos os pontos
tais que , pois aí a raiz é positiva e a divisão por é bem definida. - Nos pontos em que
(bordo do domínio da função), a derivada pode não existir: geralmente, se o radicando zera com derivada não nula, a derivada da raiz tende a infinito e não existe. Se tanto o radicando quanto sua derivada se anularem nesses pontos pode ser necessário um estudo mais fino (expansão em série, por exemplo) para decidir se a derivada existe; isso exige análise caso a caso. - Exemplo numérico rápido para ganhar confiança: em
o radicando vale , positivo; o numerador em é . Logo
o que confirma que a fórmula funciona em um ponto interior do domínio.