3.3 Calcula as derivadas, assumindo que a derivada da função está definida no seu domínio máximo.
f(x)=\sqrt{1-x \cos x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função f definida por
f(x)=\sqrt{\,1 - x\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,}.
Informações dadas e o que é solicitado:
  • A função é f(x)=\sqrt{1 - x\cos(x^{2})}.
  • O enunciado pede a derivada f'(x), assumindo que a derivada está definida no domínio máximo possível.
  • É necessário ter atenção ao domínio da função (a raiz quadrada exige que o argumento seja maior ou igual a zero) e ao domínio onde a derivada existe (normalmente onde o argumento da raiz é estritamente positivo).

Passo 2

Vamos identificar o domínio da própria função f (antes de derivar), porque a derivada só pode existir onde a função está definida. A função tem raiz quadrada, então o radicando deve ser não negativo:
1 - x\cos\bigl(x^{2}\bigr) \ge 0.
Portanto o domínio de f é
\{\,x\in\mathbb{R}\mid 1 - x\cos(x^{2}) \ge 0\,\}.
Não há uma forma elementar simples de escrever esse conjunto como uma combinação de intervalos fechados sem analisar pontos específicos; por isso mantemos a expressão acima. Já a derivada, em princípio, será obtida apenas nos pontos interiores desse domínio onde o radicando é estritamente positivo, isto é, onde
1 - x\cos(x^{2}) > 0,
porque a fórmula que vem a seguir usa divisão por \sqrt{1 - x\cos(x^{2})}.

Passo 3

Explico as regras que vou usar (passo-a-passo didático):
  • Regra da cadeia para raiz quadrada: se g(x) é diferenciável e h(u)=\sqrt{u}, então
\frac{d}{dx}\bigl(h(g(x))\bigr)=h'(g(x))\cdot g'(x).
Aqui h(u)=\sqrt{u}=u^{1/2} e h'(u)=\dfrac{1}{2}u^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}.
  • Produto e derivada de funções trigonométricas: para g(x)=-x\cos(x^{2}) usaremos a regra do produto
\frac{d}{dx}\bigl(x\cdot \cos(x^{2})\bigr)=1\cdot\cos(x^{2}) + x\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\cos(x^{2})\bigr),
e a derivada da composta \cos(x^{2}) é, pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\cos(x^{2})=-\sin(x^{2})\cdot\frac{d}{dx}(x^{2})=-\sin(x^{2})\cdot 2x.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo.

Passo 4

Defino o radicando como função auxiliar
u(x)=1 - x\cos\bigl(x^{2}\bigr).
Queremos u'(x). Derivando termo a termo:
  • Derivada de 1 é 0.
  • Derivada de -x\cos(x^{2}) é o negativo da derivada de x\cos(x^{2}). Pela regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(x\cos(x^{2})\bigr)=\cos(x^{2}) + x\cdot\frac{d}{dx}\cos(x^{2}).
Usando a derivada de \cos(x^{2}) (regra da cadeia) obtemos
\frac{d}{dx}\cos(x^{2})=-2x\sin(x^{2}).
Substituindo:
\frac{d}{dx}\bigl(x\cos(x^{2})\bigr)=\cos(x^{2}) + x\cdot(-2x\sin(x^{2}))=\cos(x^{2}) - 2x^{2}\sin(x^{2}).
Como u(x)=1 - x\cos(x^{2}), temos
u'(x)=0 - \bigl(\cos(x^{2}) - 2x^{2}\sin(x^{2})\bigr)=-\cos(x^{2}) + 2x^{2}\sin(x^{2}).

Passo 5

Agora aplico a regra da cadeia para f(x)=\sqrt{u(x)}. Como h(u)=\sqrt{u} tem derivada h'(u)=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}, obtemos, para pontos onde u(x)>0,
f'(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}.
Substituindo u(x)=1 - x\cos(x^{2}) e u'(x)=-\cos(x^{2})+2x^{2}\sin(x^{2}), chega-se a
f'(x)=\frac{-\cos(x^{2})+2x^{2}\sin(x^{2})}{2\sqrt{\,1 - x\cos(x^{2})\,}}.
Podemos escrever o numerador em ordem mais “bonitinha”:
f'(x)=\frac{2x^{2}\sin(x^{2})-\cos(x^{2})}{2\sqrt{\,1 - x\cos(x^{2})\,}}.

Passo 6

Sobre o domínio de validade da fórmula e observações finais:
  • A fórmula acima é válida em todos os pontos x tais que 1 - x\cos(x^{2})>0, pois aí a raiz é positiva e a divisão por 2\sqrt{1-x\cos(x^{2})} é bem definida.
  • Nos pontos em que 1 - x\cos(x^{2})=0 (bordo do domínio da função), a derivada pode não existir: geralmente, se o radicando zera com derivada não nula, a derivada da raiz tende a infinito e não existe. Se tanto o radicando quanto sua derivada se anularem nesses pontos pode ser necessário um estudo mais fino (expansão em série, por exemplo) para decidir se a derivada existe; isso exige análise caso a caso.
  • Exemplo numérico rápido para ganhar confiança: em x=0 o radicando vale 1-0\cdot\cos 0=1, positivo; o numerador em x=0 é 2\cdot 0^{2}\sin 0-\cos 0=-1. Logo
f'(0)=\frac{-1}{2\sqrt{1}}=-\tfrac{1}{2},
o que confirma que a fórmula funciona em um ponto interior do domínio.

Resposta

f'(x)=\frac{2x^{2}\sin(x^{2})-\cos(x^{2})}{2\sqrt{\,1 - x\cos(x^{2})\,}},\quad \text{válida para }1 - x\cos(x^{2})>0á

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