38 Seja
a função dada por
com dez raízes quadradas Calcule
com dez raízes quadradas Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de direita (isto é, a derivada em
considerando que o domínio é
) da função
definida por uma radical aninhada com dez raízes quadradas:
onde há exatamente dez sinais de
.
Informações relevantes dadas:
- Domínio:
. - A expressão contém uma composição recursiva de dez radicais.
- Pergunta: calcular
.
Passo 2
Vamos dar uma definição conveniente para tratar essa composição. Definimos recursivamente funções
por
Então a função pedida é
.
Explicando a ideia: cada
é a radical com
raízes. Trabalhar com essa notação ajuda a fazer induções e limites.
Passo 3
Primeiro calculemos os valores em
. Como
e, por recorrência,
segue por indução que todos os
. Em particular,
Passo 4
Relembrando a definição de derivada no extremo esquerdo/direito (aqui só faz sentido a derivada à direita em
porque o domínio é
):
pois
. Portanto basta estudar o comportamento de
quando
.
Comentário didático rápido: se esse limite for um número finito, esse será
. Se o limite for
ou
, a derivada não existe como número real (diz-se que a derivada é infinita).
Passo 5
Vamos obter um limite inferior simples para
quando
. Proponho provar por indução que, para todo
e todo
,
Base
:
, ok.
Passo indutivo: suponha
. Então
Assim a propriedade vale para todo
. Em particular, com
,
(Comentário intuitivo: para
muito pequeno, o termo interno
domina em relação a
, e cada raiz sucessiva transforma a potência em uma raiz da raiz, levando ao expoente
.)
Passo 6
Usando a desigualdade do passo anterior, para
temos
Observe que o expoente
é negativo, portanto a função
tende a
quando
. Assim,
Como a razão
é não negativa (todas as raízes retornam valores não negativos), isto força
Passo 7
Interpretação final: o limite que define a derivada à direita em
diverge para
. Portanto a derivada no ponto
não existe como número real; dizemos que a derivada é infinita, mais precisamente que o coeficiente angular da tangente à direita é
.
Para reforçar a intuição: funções do tipo
com
têm derivada infinita em
(por exemplo
tem derivada
em
). Aqui
para pequeno
se comporta como
ao menos em ordem de grandeza, então o mesmo fenômeno ocorre.