38 Seja f:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} a função dada por
f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x+\ldots+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}} com dez raízes quadradas Calcule f^{\prime}(0)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de direita (isto é, a derivada em 0 considerando que o domínio é [0,\infty)) da função f:[0,\infty)\to\mathbb{R} definida por uma radical aninhada com dez raízes quadradas:
f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x+\cdots+\sqrt{x}}}
onde há exatamente dez sinais de \sqrt{\;\cdot\;}.
Informações relevantes dadas:
  • Domínio: [0,\infty).
  • A expressão contém uma composição recursiva de dez radicais.
  • Pergunta: calcular f'(0).

Passo 2

Vamos dar uma definição conveniente para tratar essa composição. Definimos recursivamente funções \{a_k(x)\}_{k\ge1} por
a_1(x)=\sqrt{x}, \qquad a_k(x)=\sqrt{x+a_{k-1}(x)}\quad\text{para }k\ge2.
Então a função pedida é f(x)=a_{10}(x).
Explicando a ideia: cada a_k é a radical com k raízes. Trabalhar com essa notação ajuda a fazer induções e limites.

Passo 3

Primeiro calculemos os valores em x=0. Como a_1(0)=\sqrt{0}=0 e, por recorrência,
a_k(0)=\sqrt{0+a_{k-1}(0)}=\sqrt{a_{k-1}(0)},
segue por indução que todos os a_k(0)=0. Em particular,
f(0)=a_{10}(0)=0.

Passo 4

Relembrando a definição de derivada no extremo esquerdo/direito (aqui só faz sentido a derivada à direita em 0 porque o domínio é [0,\infty)):
f'(0)=\lim_{h\to0^+}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to0^+}\frac{f(h)}{h},
pois f(0)=0. Portanto basta estudar o comportamento de \dfrac{f(h)}{h} quando h\to0^+.
Comentário didático rápido: se esse limite for um número finito, esse será f'(0). Se o limite for +\infty ou -\infty, a derivada não existe como número real (diz-se que a derivada é infinita).

Passo 5

Vamos obter um limite inferior simples para a_k(x) quando x\in(0,1). Proponho provar por indução que, para todo k\ge1 e todo x\in(0,1),
a_k(x)\ge x^{1/2^k}.
Base k=1: a_1(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}, ok.
Passo indutivo: suponha a_{k-1}(x)\ge x^{1/2^{\,k-1}}. Então
a_k(x)=\sqrt{x+a_{k-1}(x)}\ge\sqrt{a_{k-1}(x)}\ge\sqrt{x^{1/2^{\,k-1}}}=x^{1/2^k}.
Assim a propriedade vale para todo k. Em particular, com k=10,
f(x)=a_{10}(x)\ge x^{1/2^{10}}=x^{1/1024}\qquad\text{para }x\in(0,1).
(Comentário intuitivo: para x muito pequeno, o termo interno \sqrt{x} domina em relação a x, e cada raiz sucessiva transforma a potência em uma raiz da raiz, levando ao expoente 1/2^k.)

Passo 6

Usando a desigualdade do passo anterior, para 0<x<1 temos
\frac{f(x)}{x}\ge\frac{x^{1/1024}}{x}=x^{1/1024-1}=x^{-(1023/1024)}.
Observe que o expoente -1023/1024 é negativo, portanto a função x\mapsto x^{-(1023/1024)} tende a +\infty quando x\to0^+. Assim,
\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)}{x}\ge\lim_{x\to0^+}x^{-(1023/1024)}=+\infty.
Como a razão \dfrac{f(x)}{x} é não negativa (todas as raízes retornam valores não negativos), isto força
\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)}{x}=+\infty.

Passo 7

Interpretação final: o limite que define a derivada à direita em 0 diverge para +\infty. Portanto a derivada no ponto 0 não existe como número real; dizemos que a derivada é infinita, mais precisamente que o coeficiente angular da tangente à direita é +\infty.
Para reforçar a intuição: funções do tipo x^\alpha com 0<\alpha<1 têm derivada infinita em 0 (por exemplo \sqrt{x} tem derivada +\infty em 0). Aqui f(x) para pequeno x se comporta como x^{1/1024} ao menos em ordem de grandeza, então o mesmo fenômeno ocorre.

Resposta

f'(0)=+\infty

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