1. Calcula o domínio de: f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-3 x+2}}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-3x+2}}{x-2}.
Para determinar o domínio, precisamos garantir duas coisas simultaneamente:
  1. O radicando deve ser não-negativo, isto é,
x^{2}-3x+2\ge0.
  1. O denominador não pode ser zero, ou seja,
x-2\neq0.

Passo 2

Vamos resolver a desigualdade
x^{2}-3x+2\ge0.
Fatorando o polinômio, temos
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2).
Um produto de dois fatores é não-negativo quando ambos são não-negativos ou ambos são não-positivos. Assim:
  • x-1\ge0 e x-2\ge0 \implies x\ge2.
  • x-1\le0 e x-2\le0 \implies x\le1.
    Logo as soluções são
(-\infty,1]\cup[2,\infty).

Passo 3

Agora excluímos o ponto onde o denominador zera, ou seja, x=2. Note que em x=2 o radicando é zero, mas teríamos 0/0, que não está definido. Retirando 2 do conjunto acima, obtemos
(-\infty,1]\cup(2,\infty).

Resposta

\mathrm{Dom}\,f = (-\infty,1]\cup(2,\infty).

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