Sem calculadora. O chamado “triângulo 3-4-5” é um triângulo retângulo com catetos de tamanhos 3 e 4, e hipotenusa de tamanho 5. Neste triângulo, os ângulos agudos são aproximadamente 37^{\circ} e 53^{\circ}. Sabendo disso:
a. Desenhe os eixos x e y no padrão usual (horizontal para a direita e vertical para cima, respectivamente), e esboce os seguintes vetores:
\vec{a}=3 \hat{i}+4 \hat{j} \quad ; \quad \vec{b}=-15 \hat{i}+20 \hat{j} \quad ; \quad \vec{c}=8 \hat{i}-6 \hat{j} \quad ; \quad \vec{d}=-2 \hat{i}-\frac{3}{2} \hat{j} \quad.
Determine, para cada um destes vetores: o módulo; e o ângulo que faz com o eixo x positivo, considerando os ângulos entre -180^{\circ} e 180^{\circ}.
b. Calcule o vetor \vec{e}=-3 \vec{a}+2 \vec{b}+5 \vec{c}+\hat{j}. Calcule então seu módulo e o ângulo que faz com o eixo x positivo.
c. Calcule os números u e w que satisfazem a equação u \vec{a}+2 \vec{b}+w \vec{c}+10 \vec{d}=\overrightarrow{0}.

Passo 1

O enunciado fornece vetores no plano cujas componentes cartesianas são dadas em \hat{\imath} e \hat{\jmath}. Vamos usar:
  1. Para o módulo de um vetor \vec{v}=(v_x,v_y), a fórmula
\|\vec{v}\| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\,.
  1. Para o ângulo \theta que \vec{v} faz com o eixo x positivo,
\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{v_y}{v_x}\bigr)
ajustando conforme o quadrante de (v_x,v_y).

Passo 2

Para \vec{a}=3\hat{\imath}+4\hat{\jmath}:
\|\vec{a}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5.
Como v_x>0 e v_y>0, \theta_a = \arctan(4/3)\approx 53^\circ.

Passo 3

Para \vec{b}=-15\hat{\imath}+20\hat{\jmath}:
\|\vec{b}\| = \sqrt{(-15)^2 + 20^2} = 25.
Aqui v_x<0, v_y>0, segundo quadrante. O argumento bruto é \arctan(20/(-15))\approx -53^\circ, mas ajustamos para \theta_b = 180^\circ - 53^\circ = 127^\circ.

Passo 4

Para \vec{c}=8\hat{\imath}-6\hat{\jmath}:
\|\vec{c}\| = \sqrt{8^2 + (-6)^2} = 10.
Aqui v_x>0, v_y<0, quarto quadrante, \theta_c = \arctan((-6)/8)\approx -37^\circ.

Passo 5

Para \vec{d}=-2\hat{\imath}-\tfrac{3}{2}\hat{\jmath}:
\|\vec{d}\| = \sqrt{(-2)^2 + \bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr)^2} = \sqrt{4 + \tfrac{9}{4}} = \tfrac{5}{2}.
Aqui v_x<0, v_y<0, terceiro quadrante. O arctan bruto de (1,5)/(2) 36{,}9^\circ, então \theta_d = -180^\circ + 36{,}9^\circ \approx -143^\circ.

Passo 6

Calculamos \vec{e} = -3\vec{a} + 2\vec{b} + 5\vec{c} + \hat{\jmath}.
- -3\vec{a} = (-9,-12)
- 2\vec{b} = (-30,40)
- 5\vec{c} = (40,-30)
- \hat{\jmath} = (0,1)
Somando em x: -9 -30 +40 +0 = 1.
Somando em y: -12 +40 -30 +1 = -1.
Logo \vec{e} = (1,-1).
\|\vec{e}\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}, \quad \theta_e = \arctan\bigl((-1)/1\bigr) = -45^\circ.

Passo 7

Para u\vec{a} + 2\vec{b} + w\vec{c} + 10\vec{d} = \vec{0}\), escrevemos as componentes: \[(3u -30 +8w -20,\;4u +40 -6w -15) = (0,0).
Isto é
\begin{cases} 3u + 8w = 50,\\\\ 4u - 6w = -25. \end{cases}
Multiplicando a primeira por 4 e a segunda por -3\] e somando, obtemos \[50w = 275\implies w = \tfrac{275}{50} = 5{,}5.\] Então \(3u + 8\cdot5{,}5 = 50\implies 3u = 6\implies u = 2.

Resposta

a. \vec{a}: \|\vec{a}\|=5,\;\theta_a\approx53^\circ \vec{b}: \|\vec{b}\|=25,\;\theta_b\approx127^\circ \vec{c}: \|\vec{c}\|=10,\;\theta_c\approx-37^\circ \vec{d}: \|\vec{d}\|=2{,}5,\;\theta_d\approx-143^\circ
b. \vec{e}=(1,-1),\;\|\vec{e}\|=\sqrt{2},\;\theta_e=-45^\circ
c. u=2,\;w=5{,}5

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